Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com desvio-padrão de 15 cm . Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos obtendo-se altura média de 175 cm . Construir, ao nível de 95 % o intervalo de confiança para a verdadeira altura média dos alunos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente sabe que as alturas dos alunos seguem uma distribuição normal com desvio-padrão de 15 cm. Tiramos uma amostra de 100 alunos e a média das alturas nessa amostra foi de 175 cm. O que precisamos fazer é construir um intervalo de confiança de 95% para descobrir qual é a verdadeira altura média dos alunos da faculdade. Para isso, vamos usar a teoria de intervalos de confiança para a média quando a distribuição é normal e conhecemos o desvio-padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio-padrão da população. A fórmula é:
barx pm Zalpha2 times sigmaraizn
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança.
  • é o desvio-padrão da população.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos identificar cada parte dos nossos dados na fórmula:
  • cm (média da amostra)
  • cm (desvio-padrão)
  • (tamanho da amostra)
  • Nível de confiança = 95%, então e

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de para um nível de confiança de 95%. Esse valor corresponde a aproximadamente 1.96 na tabela da distribuição normal.

Passo 5

Agora vamos substituir os valores na fórmula:
175 pm 1.96 times 15raiz100

Passo 6

Vamos calcular o denominador:
raiz100 = 10
Então, a expressão fica:
175 pm 1.96 times 1510

Passo 7

Calculando a parte multiplicativa:
1510 = 1.5
1.96 times 1.5 = 2.94

Passo 8

Agora, aplicamos a margem de erro à média da amostra:
175 - 2.94 = 172.06
175 + 2.94 = 177.94

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira altura média dos alunos é entre 172,06 cm e 177,94 cm.

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