Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com desvio-padrão de 15 cm . Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos obtendo-se altura média de 175 cm . Construir, ao nível de
o intervalo de confiança para a verdadeira altura média dos alunos.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente sabe que as alturas dos alunos seguem uma distribuição normal com desvio-padrão de 15 cm. Tiramos uma amostra de 100 alunos e a média das alturas nessa amostra foi de 175 cm. O que precisamos fazer é construir um intervalo de confiança de 95% para descobrir qual é a verdadeira altura média dos alunos da faculdade. Para isso, vamos usar a teoria de intervalos de confiança para a média quando a distribuição é normal e conhecemos o desvio-padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio-padrão da população. A fórmula é:
Onde:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança. -
é o desvio-padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Vamos identificar cada parte dos nossos dados na fórmula:
-
cm (média da amostra) -
cm (desvio-padrão) -
(tamanho da amostra) - Nível de confiança = 95%, então
e
Passo 4
Precisamos encontrar o valor de
para um nível de confiança de 95%. Esse valor corresponde a aproximadamente 1.96 na tabela da distribuição normal.
Passo 5
Agora vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Calculando a parte multiplicativa:
Passo 8
Agora, aplicamos a margem de erro à média da amostra:
Resposta
Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira altura média dos alunos é entre 172,06 cm e 177,94 cm.