Um prefeito de certa cidade turística deseja estimar a média de gastos para os turistas que visitarem a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 120 turistas foi selecionada para a investigação e encontrouse que a média foi igual a 800 u.m.(unidades de medidas) com desvio padrão de 200 u.m.
a) Achar o intervalo de confiança, a
para a média de todos os gastos de turistas com a cidade.
b) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que ao nível de confiança de
o erro de estimação seja 20 u.m.
a) Achar o intervalo de confiança, a
b) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que ao nível de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre estimar a média de gastos dos turistas em uma cidade. A gente vai usar conceitos de Intervalo de Confiança e Tamanho de Amostra para isso. No primeiro item, precisamos achar um intervalo onde a média dos gastos está, com 99% de confiança. No segundo, descobrir qual o tamanho mínimo da amostra para ter certeza de que o erro na estimativa seja de no máximo 20 unidades, com 95% de confiança.
Passo 2
Vamos começar com a letra a). Queremos encontrar o intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos dos turistas. Primeiro, precisamos lembrar que o intervalo de confiança para a média é dado por:
Onde:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da amostra. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Dados que temos:
- Média da amostra (
) = 800 u.m. - Desvio padrão (
) = 200 u.m. - Tamanho da amostra (
) = 120 - Nível de confiança = 99%
Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico
para 99% de confiança. Isso significa que a área nas duas caudas é 1% ou 0,01, então cada cauda tem 0,005. Olhando na tabela da distribuição normal padrão, o valor de
é aproximadamente 2,576.
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão da média:
Passo 5
Com o erro padrão e o valor crítico, podemos montar o intervalo de confiança:
Calculando o produto:
Então, o intervalo fica:
Passo 6
Agora vamos para a letra b). Precisamos determinar o tamanho mínimo da amostra para que, com 95% de confiança, o erro de estimação seja de no máximo 20 u.m.
A fórmula para o tamanho da amostra é:
Onde:
-
é o erro máximo tolerado (20 u.m.) -
para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Como o tamanho da amostra não pode ser fracionário, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de pelo menos 385 turistas na amostra.
Resposta
a) O intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos dos turistas é entre 753 u.m. e 847 u.m.
b) O tamanho mínimo da amostra necessário é de 385 turistas.