Um prefeito de certa cidade turística deseja estimar a média de gastos para os turistas que visitarem a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 120 turistas foi selecionada para a investigação e encontrouse que a média foi igual a 800 u.m.(unidades de medidas) com desvio padrão de 200 u.m.
a) Achar o intervalo de confiança, a 99 % para a média de todos os gastos de turistas com a cidade.
b) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que ao nível de confiança de 95 % o erro de estimação seja 20 u.m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre estimar a média de gastos dos turistas em uma cidade. A gente vai usar conceitos de Intervalo de Confiança e Tamanho de Amostra para isso. No primeiro item, precisamos achar um intervalo onde a média dos gastos está, com 99% de confiança. No segundo, descobrir qual o tamanho mínimo da amostra para ter certeza de que o erro na estimativa seja de no máximo 20 unidades, com 95% de confiança.

Passo 2

Vamos começar com a letra a). Queremos encontrar o intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos dos turistas. Primeiro, precisamos lembrar que o intervalo de confiança para a média é dado por:
barx pm zalpha2 times sigmaraizn
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da amostra.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Dados que temos:
  • Média da amostra ( ) = 800 u.m.
  • Desvio padrão ( ) = 200 u.m.
  • Tamanho da amostra ( ) = 120
  • Nível de confiança = 99%
Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico para 99% de confiança. Isso significa que a área nas duas caudas é 1% ou 0,01, então cada cauda tem 0,005. Olhando na tabela da distribuição normal padrão, o valor de é aproximadamente 2,576.

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da média:
sigmaraizn = 200raiz120 approx 20010,954 approx 18,28

Passo 5

Com o erro padrão e o valor crítico, podemos montar o intervalo de confiança:
800 pm 2,576 times 18,28
Calculando o produto:
2,576 times 18,28 approx 47,00
Então, o intervalo fica:
800 - 47 = 753 e 800 + 47 = 847

Passo 6

Agora vamos para a letra b). Precisamos determinar o tamanho mínimo da amostra para que, com 95% de confiança, o erro de estimação seja de no máximo 20 u.m.
A fórmula para o tamanho da amostra é:
n = ( zalpha2 times sigmaE )^2
Onde:
  • é o erro máximo tolerado (20 u.m.)
  • para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
n = ( 1,96 times 20020 )^2 = ( 39220 )^2 = (19,6)^2 = 384,16
Como o tamanho da amostra não pode ser fracionário, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de pelo menos 385 turistas na amostra.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 99% para a média dos gastos dos turistas é entre 753 u.m. e 847 u.m.
b) O tamanho mínimo da amostra necessário é de 385 turistas.

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