Suponha de C(x) é o custo total que uma empresa companhia incorre na produção de x unidades de um determinado produto. A função O é chamada Função Custo. Se o número de itens produzido estiver crescendo de x1 para x2, o custo adicional será AC = C(x2) - C(x), e a taxa média de variação do custo será AC CCX22 - C(x.)C(X-AX) - C(x) o limite dessa grandeza, quando Ax tende para zero, isso é, a taxa de limite de cada grandeza. A variação instantânea do custo em relação aos itens produzidos, é chamado de custo marginal pelos economistas e é dado por: Custo Marginal = lim A4 = C.||X-0 AX. O custo em dólares para uma companhia produzir x novas linhas de jeans é: C(x) = 2.000 + 3x + 0,01x² + 0,0002x%. Encontre a função Custo Marginal e qual é o custo adicional para a produção da 100ª unidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de custo total $ C(x) $ de uma empresa que produz $ x $ unidades de um produto. A gente precisa encontrar duas coisas:
  1. A função de Custo Marginal, que basicamente mostra o quanto o custo aumenta quando a produção aumenta um pouquinho.
  2. O Custo Adicional para produzir a 100ª unidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, mas vou explicar tudo de um jeito simples!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Função de Custo Marginal. Imagine que você está produzindo mais uma unidade do produto. O custo marginal é o custo extra para produzir exatamente essa unidade a mais. Matematicamente, isso é encontrado pela derivada da função de custo total $ C(x) $.
A derivada nos dá a taxa de variação instantânea, ou seja, como o custo muda exatamente naquele ponto de produção.

Passo 3

A função de custo total que a gente tem é:
C(x) = 2000 + 3x + 0,01x^2 + 0,0002x^3
Para encontrar a função de custo marginal $ C’(x) $, vamos derivar cada termo dessa função em relação a $ x $:
  1. A derivada de $ 2000 $ é 0, porque é uma constante.
  2. A derivada de $ 3x $ é 3.
  3. A derivada de $ 0{,}01x^2 $ é $ 0{,}02x $.
  4. A derivada de $ 0{,}0002x^3 $ é $ 0{,}0006x^2 $.
Então, juntando tudo:
C'(x)

Passo 4

Agora que temos a função de custo marginal $ C’(x) $, podemos usá-la para encontrar o custo adicional para produzir a 100ª unidade. Isso significa que vamos calcular $ C’(100) $.
Vamos substituir $ x = 100 $ na função de custo marginal:
C'(x)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. $ 0{,}02 \times 100 = 2 $
  2. $ 0{,}0006 \times 100^2 = 0{,}0006 \times 10000 = 6 $
Então:
0,02 times 100 = 2

Resposta

A função de Custo Marginal é $ C’(x) = 3 + 0{,}02x + 0{,}0006x^2 $ e o custo adicional para a produção da 100ª unidade é 11 dólares.

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