Considere o seguinte problema de programação linear:
Min Z= 280x1+620x2Sujeito a:0,75x1+0,6x2 ≤200x1+x2 ≤300x1 ≥160x2 ≥75O valor de x2 para a solução ótima deste problema é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de programação linear juntos! Aqui, a gente quer minimizar o valor de Z, que é dado por $ Z = 280x_1 + 620x_2 $. Temos algumas restrições que os valores de $ x_1 $ e $ x_2 $ precisam satisfazer:
Z = 280x1 + 620x2
Para resolver isso, vamos usar o método gráfico, que funciona bem quando temos duas variáveis. A ideia é desenhar todas essas restrições em um gráfico, encontrar a região que satisfaz todas elas (a região viável) e depois verificar qual ponto dessa região minimiza o valor de $ Z $.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar cada uma das restrições no gráfico:
  1. Restrição 1: $ 0,75x_1 + 0,6x_2 \leq 200 $
    Podemos reescrever essa equação para facilitar o desenho:
    0,75x1 + 0,6x2 <= 200
    Isso nos dá a linha limite dessa restrição.
  2. Restrição 2: $ x_1 + x_2 \leq 300 $
    Reescrevendo:
    x2 = 200 - 0,75x10,6
    Outra linha limite.
  3. Restrição 3: $ x_1 \geq 160 $
    Isso significa que $ x_1 $ deve ser pelo menos 160. No gráfico, é uma linha vertical em $ x_1 = 160 $.
  4. Restrição 4: $ x_2 \geq 75 $
    Isso significa que $ x_2 $ deve ser pelo menos 75. No gráfico, é uma linha horizontal em $ x_2 = 75 $.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de interseção dessas linhas, pois eles vão nos ajudar a encontrar os vértices da região viável:
  1. Interseção entre Restrição 1 e Restrição 2:
    0,75x1 + 0,6x2 = 200 x1 + x2 = 300
    Resolvendo esse sistema de equações, encontramos um ponto onde as duas restrições se cruzam.
  2. Interseção entre Restrição 1 e $ x_1 = 160 $:
    Substituindo $ x_1 = 160 $ na equação da Restrição 1, encontramos o valor de $ x_2 $.
  3. Interseção entre Restrição 2 e $ x_1 = 160 $:
    Substituindo $ x_1 = 160 $ na equação da Restrição 2, encontramos o valor de $ x_2 $.
  4. Interseção entre Restrição 1 e $ x_2 = 75 $:
    Substituindo $ x_2 = 75 $ na equação da Restrição 1, encontramos o valor de $ x_1 $.
  5. Interseção entre Restrição 2 e $ x_2 = 75 $:
    Substituindo $ x_2 = 75 $ na equação da Restrição 2, encontramos o valor de $ x_1 $.

Passo 4

Vamos calcular esses pontos de interseção:
  1. Interseção entre Restrição 1 e Restrição 2:
    0,75x1 + 0,6x2 = 200 x1 + x2 = 300
    Resolvendo o segundo a equação para $ x_2 $:
    x2
    Substituindo na primeira equação:
    x2 = 300 - x1
    Mas como $ x_1 \geq 160 $, esse ponto não está na região viável.
  2. Interseção entre Restrição 1 e $ x_1 = 160 $:
    0,75x1 + 0,6(300 - x1) = 200 0,75x1 + 180 - 0,6x1 = 200 0,15x1 = 20 x1 = 200,15 x1 approx 133,33
  3. Interseção entre Restrição 2 e $ x_1 = 160 $:
    x1 >= 160
  4. Interseção entre Restrição 1 e $ x_2 = 75 $:
    x1 = 160
  5. Interseção entre Restrição 2 e $ x_2 = 75 $:
    0,75(160) + 0,6x2 = 200 120 + 0,6x2 = 200 0,6x2 = 80 x2 = 800,6 x2 approx 133,33

Passo 5

Agora, vamos listar os pontos viáveis que satisfazem todas as restrições:
  1. $ (160, 133,33) $
  2. $ (160, 140) $
  3. $ (206,67, 75) $
  4. $ (225, 75) $
Esses são os cantos da nossa região viável. Agora, vamos calcular o valor de $ Z $ em cada um desses pontos para descobrir qual deles dá o menor valor.

Passo 6

Calculando $ Z = 280x_1 + 620x_2 $ em cada ponto:
  1. Ponto $ (160, 133,33) $:
    Z = 280x1 + 620x2
  2. Ponto $ (160, 140) $:
    (160, 133,33)
  3. Ponto $ (206,67, 75) $:
    Z = 280(160) + 620(133,33) Z = 44.800 + 82.666,60 Z approx 127.466,60
  4. Ponto $ (225, 75) $:
    (160, 140)

Passo 7

Comparando os valores de $ Z $ nos quatro pontos:
  • $ (160, 133,33) $: $ Z \approx 127.466,60 $
  • $ (160, 140) $: $ Z = 131.600 $
  • $ (206,67, 75) $: $ Z \approx 104.353,60 $
  • $ (225, 75) $: $ Z = 109.500 $
O menor valor de $ Z $ ocorre no ponto $ (206,67, 75) $.

Resposta

O valor de $ x_2 $ para a solução ótima é 75.

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