Suponha que a densidade de um gás é proporcional à sua pressão
onde
é uma constante. Essa relação é chamada de equação de estado e funciona quando a temperatura de um gás não muda. Obtenha a relaçāo para a pressão atmosférica com a altitude considerando que a atmosfera é muito próxima da superfície da terra de modo que
.
é uma constante. Essa relação é chamada de equação de estado e funciona quando a temperatura de um gás não muda. Obtenha a relaçāo para a pressão atmosférica com a altitude considerando que a atmosfera é muito próxima da superfície da terra de modo que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma relação entre a densidade de um gás (
) e a pressão (
), que é dada por
, onde
é uma constante. Essa relação é chamada de equação de estado e funciona quando a temperatura do gás não muda. O objetivo aqui é descobrir como a pressão atmosférica varia com a altitude, assumindo que a gravidade (
) é constante e igual a aproximadamente
. Vamos precisar usar conceitos de física atmosférica e cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na atmosfera, a pressão diminui conforme a gente sobe. Isso acontece por causa do peso do ar acima da nossa posição. Esse equilíbrio é chamado de equilíbrio hidrostático. A equação que descreve esse equilíbrio é:
Aqui,
é a taxa de variação da pressão com a altitude,
é a densidade do ar, e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Sabemos pela equação de estado que
. Podemos substituir isso na equação do equilíbrio hidrostático:
Agora temos uma equação diferencial que relaciona a pressão com a altitude.
Passo 4
Essa equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos rearranjar os termos para isolarmos
e
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. Quando a altitude
, a pressão é
. Substituindo esses valores na equação:
Então, a equação fica:
Passo 7
Vamos agora resolver para
. Podemos fazer isso exponenciando ambos os lados da equação:
Resposta
A relação entre a pressão atmosférica
e a altitude
é dada por:
Onde:
-
é a pressão ao nível do mar, -
é a constante dada, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altitude.