Suponha que a densidade de um gás é proporcional à sua pressão rho=alpha p onde alpha=rho0 / p0
é uma constante. Essa relação é chamada de equação de estado e funciona quando a temperatura de um gás não muda. Obtenha a relaçāo para a pressão atmosférica com a altitude considerando que a atmosfera é muito próxima da superfície da terra de modo que g simeq 9,8 m / s^2.
l 3 Suponha que a de cional à sua press P0Pvà

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma relação entre a densidade de um gás ( rho) e a pressão ( p), que é dada por rho = alpha p, onde alpha = rho0p0 é uma constante. Essa relação é chamada de equação de estado e funciona quando a temperatura do gás não muda. O objetivo aqui é descobrir como a pressão atmosférica varia com a altitude, assumindo que a gravidade ( g) é constante e igual a aproximadamente 9,8 , m/s^2. Vamos precisar usar conceitos de física atmosférica e cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na atmosfera, a pressão diminui conforme a gente sobe. Isso acontece por causa do peso do ar acima da nossa posição. Esse equilíbrio é chamado de equilíbrio hidrostático. A equação que descreve esse equilíbrio é:
dpdh = -rho g
Aqui, dpdh é a taxa de variação da pressão com a altitude, rho é a densidade do ar, e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Sabemos pela equação de estado que rho = alpha p. Podemos substituir isso na equação do equilíbrio hidrostático:
dpdh = -alpha p g
Agora temos uma equação diferencial que relaciona a pressão com a altitude.

Passo 4

Essa equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos rearranjar os termos para isolarmos p e h:
dpp = -alpha g , dh

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de 1p dp é ln p, e a integral de - alpha g , dh é - alpha g h:
ln p = -alpha g h + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial. Quando a altitude h = 0, a pressão é p = p0. Substituindo esses valores na equação:
ln p0 = -alpha g cdot 0 + C ln p0 = C
Então, a equação fica:
ln p = -alpha g h + ln p0

Passo 7

Vamos agora resolver para p. Podemos fazer isso exponenciando ambos os lados da equação:
p = e^-alpha g h cdot e^ln p0 p = p0 e^-alpha g h

Resposta

A relação entre a pressão atmosférica p e a altitude h é dada por:
p = p0 , e^-alpha g h
Onde:
  • p0 é a pressão ao nível do mar,
  • alpha = rho0p0 é a constante dada,
  • g approx 9,8 , m/s^2 é a aceleração da gravidade,
  • h é a altitude.

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