Considere duas massas M putuais separadas por uma distância a conforme o esquema abaixo e encontre o potencial gravitacional resultante em todo o plano x-y, quando a coordenada z=0. 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o potencial gravitacional resultante em todo o plano quando , considerando duas massas pontuais separadas por uma distância . Vamos usar os conceitos de potencial gravitacional de massas pontuais e a superposição desses potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o potencial gravitacional phi = -G Mr gerado por uma massa pontual em um ponto qualquer no espaço é dado pela fórmula:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa,
  • é a distância entre a massa e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Agora, vamos posicionar as duas massas no plano . Para simplificar, vamos colocar uma massa no ponto e a outra no ponto . Isso significa que elas estão separadas por uma distância ao longo do eixo .

Passo 4

Para calcular o potencial gravitacional total em um ponto qualquer phitotal(x, y) = phi1 + phi2 no plano , vamos calcular o potencial devido a cada massa separadamente e depois somá-los, já que os potenciais se somam:
Onde:
  • é o potencial devido à massa no ponto ,
  • é o potencial devido à massa no ponto .

Passo 5

Vamos calcular cada potencial separadamente. A distância de um ponto r1 = raiz(x - a2)^2 + y^2 à massa r2 = raiz(x + a2)^2 + y^2 é:
phi1 = -G Mr1 = -G Mraiz(x - a2)^2 + y^2
E a distância à massa phi2 = -G Mr2 = -G Mraiz(x + a2)^2 + y^2 é:
Substituindo na fórmula do potencial:

Passo 6

Agora, somamos os dois potenciais para obter o potencial gravitacional total:
phitotal(x, y) = phi1 + phi2 = -G M ( 1raiz(x - a2)^2 + y^2 + 1raiz(x + a2)^2 + y^2 )

Resposta

O potencial gravitacional resultante no plano phi(x, y) = -G M ( 1raiz(x - a2)^2 + y^2 + 1raiz(x + a2)^2 + y^2 ) quando é dado por:

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