Um frasco de vidro com volume 1.000,00 cm^3 a 0,0 ^circ C está completamente cheio de mercúrio a essa mesma temperatura. Quando esse sistema é aquecido até 55,0 ^circ C, um volume de 8,95 cm^3 de mercúrio transborda. Sabendo que o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é igual a 18,0 times 10^-5 K^-1, calcule o coeficiente de dilatação volumétrica do vidro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um frasco de vidro totalmente cheio de mercúrio que é aquecido, e parte do mercúrio transborda. Nosso objetivo é descobrir o coeficiente de dilatação volumétrica do vidro. Para isso, vamos precisar entender como tanto o vidro quanto o mercúrio se expandem com o aumento da temperatura. Vamos usar fórmulas de dilatação volumétrica e fazer uns cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Volume inicial do frasco (V₀): 1.000,00 cm³
  • Temperatura inicial (T₀): 0,0 °C
  • Temperatura final (T): 55,0 °C
  • Volume de mercúrio que transborda (ΔV): 8,95 cm³
  • Coeficiente de dilatação do mercúrio (β_mercúrio): 18,0 × 10⁻⁵ K⁻¹
A variação de temperatura (ΔT) é:
De

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da dilatação volumétrica:
De
Onde:
  • ΔV é a variação de volume,
  • V₀ é o volume inicial,
  • β é o coeficiente de dilatação volumétrica,
  • ΔT é a variação de temperatura.

Passo 4

Vamos calcular quanto o mercúrio queria expandir com o aumento de temperatura. Usando a fórmula da dilatação para o mercúrio:
Deúú
Substituindo os valores:
Deú³
Deú³

Passo 5

Agora, o vidro também se expande com a temperatura. A variação de volume do vidro será:
De
Mas a gente não sabe ainda o valor de β_vidro, que é o que queremos encontrar.

Passo 6

O mercúrio tenta expandir 99,0 cm³, mas o vidro também está aumentando seu volume. O que realmente acontece é que o mercúrio transborda apenas a diferença entre a expansão do mercúrio e a expansão do vidro. Então temos:
Deú
Substituindo os valores conhecidos:
99,0 , cm³ - (1000,00 , cm³ cdot betavidro cdot 55,0 , K) = 8,95 , cm³ ³³³

Passo 7

Agora, vamos resolver para β_vidro:
99,0 - 1000,00 cdot betavidro cdot 55,0 = 8,95
Isolando β_vidro:
1000,00 cdot betavidro cdot 55,0 = 99,0 - 8,95
1000,00 cdot betavidro cdot 55,0 = 90,05
betavidro = 90,051000,00 cdot 55,0
betavidro = 90,0555.000 = 0,001637 , K^-1

Resposta

O coeficiente de dilatação volumétrica do vidro é aproximadamente .

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