Suponha que desejamos investigar se o processo de envase das latinhas da CocaCola está não viesado, isto é, se a quantidade de líquido colocada em cada lata é, em média, a quantidade exibida no rótulo. Em condições normais do processo, sabe-se que a quantidade de ml colocada em uma lata tem distribuição normal com média de 350ml. Uma amostra de 7 latinhas foi colhida, e teve os seguintes resultados: 357, 351, 349, 350,355,356,350. A um nível de 5% de significância, o processo de preenchimento está não viesado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Queremos descobrir se o processo de enchimento das latinhas de CocaCola tá direitinho, ou seja, se a quantidade média de líquido em cada lata é igual a 350ml, que é o que tá no rótulo. Para isso, vamos usar a estatística que estuda como tirar conclusões sobre médias de populações, chamada de teste de hipóteses. Precisamos calcular a média da nossa amostra, ver a variação dos dados e comparar com os 350ml usando um teste t, já que a amostra é pequena (7 latinhas).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Temos os seguintes valores de ml nas 7 latinhas: 357, 351, 349, 350, 355, 356, 350.
Média (barx) = 357 + 351 + 349 + 350 + 355 + 356 + 3507 = 25127 = 358,86 ml é
(Nota: Houve um erro no cálculo anterior; vamos recalculá-lo corretamente.)
Média (barx) = 357 + 351 + 349 + 350 + 355 + 356 + 3507 = 25127 approx 358,86 ml é
Desculpe, vamos corrigir: soma correta é 357 + 351 + 349 + 350 + 355 + 356 + 350 = 2512.
Então,
barx = 25127 approx 358,86 ml
(Agora, percebemos que há uma inconsistência, já que a soma parece estar errada.)
Vamos recalcular:
357 + 351 = 708 708 + 349 = 1057 1057 + 350 = 1407 1407 + 355 = 1762 1762 + 356 = 2118 2118 + 350 = 2468
Então,
barx = 24687 approx 352,57 ml

Passo 3

Agora que temos a média da amostra, vamos calcular o desvio padrão da amostra para entender a variação dos dados. Primeiro, calculamos a diferença de cada valor em relação à média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos pelo número de observações menos um.
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Calculando cada diferença:
(357 - 352,57)^2 approx 19,59 (351 - 352,57)^2 approx 2,46 (349 - 352,57)^2 approx 12,75 (350 - 352,57)^2 approx 6,61 (355 - 352,57)^2 approx 5,87 (356 - 352,57)^2 approx 11,91 (350 - 352,57)^2 approx 6,61
Somando tudo:
19,59 + 2,46 + 12,75 + 6,61 + 5,87 + 11,91 + 6,61 approx 65,25
Então,
s^2 = 65,256 approx 10,875 s approx raiz10,875 approx 3,30 ml

Passo 4

Agora vamos formular nossas hipóteses. A hipótese nula ( H0: mu = 350 ml Ha: mu neq 350 ml ) é que a média do processo é 350ml (não há viés). A hip��tese alternativa ( ) é que a média não é 350ml (há viés).

Passo 5

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • t = 352,57 - 3503,30 / raiz7 approx 2,571,25 approx 2,06 é a média da amostra (352,57ml)
  • é a média hipotética (350ml)
  • é o desvio padrão da amostra (3,30ml)
  • é o tamanho da amostra (7)
Substituindo:

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e graus de liberdade . Para um teste bicaudal, dividimos o alfa por 2, então procuramos com 6 df.
Consultando a tabela t, encontramos que .

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico. Nosso t calculado é 2,06, que é menor que 2,447. Isso significa que não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para concluir que o processo de preenchimento das latinhas está viesado. Ou seja, o processo está não viesado.

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