Suponha que num dia de outono a temperatura f (t), em graus, era uma função do tempo t, medido em horas, dada por f (t) = t²- 7t. A que horas desse dia a temperatura era igual a 18ºC?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que representa a temperatura ao longo do tempo. A função é $ f(t) = t^2 - 7t $, onde $ t $ é o tempo em horas e $ f(t) $ é a temperatura em graus Celsius. Queremos descobrir a que horas desse dia a temperatura foi exatamente 18°C. Para resolver isso, vamos precisar usar a matemática das funções quadráticas e resolver uma equação de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f(t) = 18 $. Isso quer dizer que queremos encontrar os valores de $ t $ para os quais a função $ f(t) $ dá exatamente 18 graus. Então, substituímos $ f(t) $ por 18 na equação:
f(t) = 18

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ t $. Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da igualdade para deixar a equação igualada a zero:
t

Passo 4

Esta é uma equação quadrática na forma padrão $ at^2 + bt + c = 0 $, onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -7 $
  • $ c = -18 $
Para resolver essa equação, vamos usar a Fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a encontrar as raízes de qualquer equação quadrática. A fórmula é:
at^2 + bt + c = 0

Passo 5

Vamos calcular o discriminante $ \Delta $, que está dentro da raiz quadrada na fórmula:
De

Passo 6

Com o discriminante calculado, aplicamos na fórmula de Bhaskara:
t = -(-7) pm raiz1212 times 1 = 7 pm 112

Passo 7

Agora, resolvemos as duas possibilidades do $ \pm $:
  1. Soma:
    pm
  2. Subtração:
    t = 7 + 112 = 182 = 9

Passo 8

Obtemos duas soluções: $ t = 9 $ e $ t = -2 $. No contexto do problema, $ t $ representa horas, e não faz sentido ter um tempo negativo. Portanto, descartamos $ t = -2 $.

Resposta

A temperatura foi igual a 18°C às 9 horas desse dia.

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