(a) Suponha que a distância horizontal entre P e Q seja 30 m . Escreva equações para a, b e c que garantam que o percurso seja liso nos pontos de transição.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois pontos, P e Q, que estão separados horizontalmente por 30 metros. A tarefa aqui é escrever as equações para as constantes , e de uma função que descreve o percurso entre esses pontos, de modo que o caminho fique “liso” nas transições. Isso significa que não tem que ter quinas ou mudanças bruscas de inclinação no percurso. Vamos precisar usar noções de funções polinomiais e derivadas para garantir essa suavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que o percurso pode ser modelado por uma função polinomial do segundo grau, ou seja:
Aqui, representa a altura ou elevação do percurso em função da posição horizontal .

Passo 3

Sabemos que a distância horizontal entre P e Q é 30 metros. Vamos escolher um sistema de coordenadas onde P está na origem (0,0) e Q está no ponto (30,0), assumindo que ambos os pontos estão no mesmo nível vertical para simplificar.

Passo 4

Para que o percurso seja liso, precisamos que a função e sua primeira derivada sejam contínuas nos pontos de transição. Isso significa que no ponto P e no ponto Q, a inclinação do percurso deve ser a mesma vindo de ambos os lados.

Passo 5

No ponto P (x=0):
  • A função passa por (0,0), então substituímos:
Isso nos dá:

Passo 6

No ponto Q (x=30):
  • A função também passa por (30,0):
Como já sabemos que , substituímos:
Podemos simplificar dividindo tudo por 30:
Ou seja:

Passo 7

Para garantir que a transição seja lisa, precisamos que a derivada da função seja zero nos pontos de início e fim, pois não queremos inclinação brusca. A derivada de é:
No ponto P (x=0), a derivada deve ser zero:
Mas vimos que . Assim:
Isso implica que:
Se , então também.

Passo 8

Com e , a função fica:
Isso significa que o percurso é uma linha reta horizontal, o que de fato é liso e sem quinas.

Resposta

As equações que garantem que o percurso seja liso nos pontos de transição são:
E a função do percurso é:

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