(a) Suponha que a distância horizontal entre
e
seja 30 m . Escreva equações para
e
que garantam que o percurso seja liso nos pontos de transição.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois pontos, P e Q, que estão separados horizontalmente por 30 metros. A tarefa aqui é escrever as equações para as constantes
,
e
de uma função que descreve o percurso entre esses pontos, de modo que o caminho fique “liso” nas transições. Isso significa que não tem que ter quinas ou mudanças bruscas de inclinação no percurso. Vamos precisar usar noções de funções polinomiais e derivadas para garantir essa suavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que o percurso pode ser modelado por uma função polinomial do segundo grau, ou seja:
Aqui,
representa a altura ou elevação do percurso em função da posição horizontal
.
Passo 3
Sabemos que a distância horizontal entre P e Q é 30 metros. Vamos escolher um sistema de coordenadas onde P está na origem (0,0) e Q está no ponto (30,0), assumindo que ambos os pontos estão no mesmo nível vertical para simplificar.
Passo 4
Para que o percurso seja liso, precisamos que a função e sua primeira derivada sejam contínuas nos pontos de transição. Isso significa que no ponto P e no ponto Q, a inclinação do percurso deve ser a mesma vindo de ambos os lados.
Passo 5
No ponto P (x=0):
- A função passa por (0,0), então substituímos:
Isso nos dá:
Passo 6
No ponto Q (x=30):
- A função também passa por (30,0):
Como já sabemos que
, substituímos:
Podemos simplificar dividindo tudo por 30:
Ou seja:
Passo 7
Para garantir que a transição seja lisa, precisamos que a derivada da função seja zero nos pontos de início e fim, pois não queremos inclinação brusca. A derivada de
é:
No ponto P (x=0), a derivada deve ser zero:
Mas vimos que
. Assim:
Isso implica que:
Se
, então
também.
Passo 8
Com
e
, a função fica:
Isso significa que o percurso é uma linha reta horizontal, o que de fato é liso e sem quinas.
Resposta
As equações que garantem que o percurso seja liso nos pontos de transição são:
E a função do percurso é: