(a) Escreva um sistema de equações em 11 incógnitas que garanta que as funçōes e suas primeiras duas derivadas coincidam nos pontos de transição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para criar um sistema de equações com 11 incógnitas que garanta que as funções e suas primeiras duas derivadas coincidam nos pontos de transição. Isso está relacionado à análise de funções por partes e à continuidade e suavidade das funções em pontos onde elas mudam de expressão. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e sistemas lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que temos duas funções, e , que se encontram em um ponto de transição, digamos . Queremos que essas funções não só se igualem nesse ponto, mas também que suas primeiras e segundas derivadas sejam iguais lá. Isso garante que a junção entre elas seja suave, sem “quebras” ou “picos”.

Passo 3

Para fazer isso, precisamos definir as funções de tal forma que em :
  1. As funções se igualem:
  2. As primeiras derivadas se igualem:
  3. As segundas derivadas se igualem:
Essas três condições garantem a continuidade da função e de suas derivadas até a segunda ordem no ponto de transição.

Passo 4

Agora, vamos supor que cada função é um polinômio de segundo grau, por exemplo:
Aqui, são as incógnitas que precisamos determinar.

Passo 5

Aplicando as condições de igualdade no ponto de transição :
  1. ou
Essas são três equações que relacionam as incógnitas.

Passo 6

Se tivermos mais pontos de transição ou mais partes nas funções, precisaremos adicionar mais equações para garantir que todas as condições de continuidade e suavidade sejam satisfeitas. Por exemplo, se temos mais dois pontos de transição, cada novo ponto adiciona três novas equações semelhantes às anteriores.

Passo 7

Vamos generalizar para múltiplos pontos de transição. Suponha que temos pontos de transição, cada um adiciona três condições. Assim, para , teríamos condições. Mas como nosso sistema tem 11 incógnitas, precisamos ajustar o número de pontos ou a complexidade das funções para equilibrar.

Passo 8

Para obter exatamente 11 incógnitas, talvez estamos trabalhando com mais funções ou funções de maior grau. Por exemplo, se temos três funções, cada uma com três coeficientes, teríamos 9 incógnitas, mais duas condições adicionais para completar as 11 incógnitas.

Passo 9

Independente da quantidade exata de funções e pontos, o importante é que cada condição de igualdade das funções e suas derivadas resulte em equações lineares que formam um sistema. Com 11 incógnitas, teremos 11 equações para resolver o sistema completamente.

Resposta

Onde é o número de pontos de transição necessários para alcançar 11 incógnitas no sistema.

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