(a) Escreva um sistema de equações em 11 incógnitas que garanta que as funçōes e suas primeiras duas derivadas coincidam nos pontos de transição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para criar um sistema de equações com 11 incógnitas que garanta que as funções e suas primeiras duas derivadas coincidam nos pontos de transição. Isso está relacionado à análise de funções por partes e à continuidade e suavidade das funções em pontos onde elas mudam de expressão. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e sistemas lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que temos duas funções, e , que se encontram em um ponto de transição, digamos . Queremos que essas funções não só se igualem nesse ponto, mas também que suas primeiras e segundas derivadas sejam iguais lá. Isso garante que a junção entre elas seja suave, sem “quebras” ou “picos”.
Passo 3
Para fazer isso, precisamos definir as funções de tal forma que em :
As funções se igualem:
As primeiras derivadas se igualem:
As segundas derivadas se igualem:
Essas três condições garantem a continuidade da função e de suas derivadas até a segunda ordem no ponto de transição.
Passo 4
Agora, vamos supor que cada função é um polinômio de segundo grau, por exemplo:
Aqui, são as incógnitas que precisamos determinar.
Passo 5
Aplicando as condições de igualdade no ponto de transição :
dá
dá
dá ou
Essas são três equações que relacionam as incógnitas.
Passo 6
Se tivermos mais pontos de transição ou mais partes nas funções, precisaremos adicionar mais equações para garantir que todas as condições de continuidade e suavidade sejam satisfeitas. Por exemplo, se temos mais dois pontos de transição, cada novo ponto adiciona três novas equações semelhantes às anteriores.
Passo 7
Vamos generalizar para múltiplos pontos de transição. Suponha que temos pontos de transição, cada um adiciona três condições. Assim, para , teríamos condições. Mas como nosso sistema tem 11 incógnitas, precisamos ajustar o número de pontos ou a complexidade das funções para equilibrar.
Passo 8
Para obter exatamente 11 incógnitas, talvez estamos trabalhando com mais funções ou funções de maior grau. Por exemplo, se temos três funções, cada uma com três coeficientes, teríamos 9 incógnitas, mais duas condições adicionais para completar as 11 incógnitas.
Passo 9
Independente da quantidade exata de funções e pontos, o importante é que cada condição de igualdade das funções e suas derivadas resulte em equações lineares que formam um sistema. Com 11 incógnitas, teremos 11 equações para resolver o sistema completamente.
Resposta
Onde é o número de pontos de transição necessários para alcançar 11 incógnitas no sistema.