Suponha que a escala Naldo seja construída levando em consideração os valores 7^circ Nal e 27^circ Nal para pontos de fusão e ebulição da água, respectivamente, onde Nal é a medida de temperatura da escala Naldo. Determine:
a. A relação matemática que relaciona as medidas de temperatura na escala Naldo com as medidas de temperatura na escala Celsius, Fahrenheit e Kelvin;

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre a escala de temperatura chamada “Naldo”. Sabemos que nessa escala, o ponto de fusão da água é 7^circ Nal e o ponto de ebulição é 27^circ Nal. A gente precisa descobrir como converter temperaturas da escala Naldo para as escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin. Pra isso, vamos usar o conceito de escalas termométricas lineares, que basicamente relacionam duas escalas de temperatura através de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que qualquer escala de temperatura que tenha dois pontos fixos (como ponto de fusão e de ebulição da água) pode ser relacionada com outra escala usando uma equação linear na forma:
TNaldo = a cdot Tescala + b
Aqui, a é a inclinação da reta e b é o intercepto. Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b para cada uma das escalas: Celsius, Fahrenheit e Kelvin.

Passo 3

Vamos começar relacionando a escala Naldo com a escala Celsius. Sabemos que:
  • 0^circ C corresponde a 7^circ Nal
  • 100^circ C corresponde a 27^circ Nal
Usando esses pontos, podemos montar duas equações:
7 = a cdot 0 + b Rightarrow b = 7
27 = a cdot 100 + 7 Rightarrow a = 27 - 7100 = 20100 = 0.2
Então, a relação entre Naldo e Celsius fica:
TNal = 0.2 cdot TC + 7

Passo 4

Agora, vamos relacionar a escala Naldo com a escala Kelvin. Sabemos que:
  • 273.15,K (que é igual a 0^circ C) corresponde a 7^circ Nal
  • 373.15,K (igual a 100^circ C) corresponde a 27^circ Nal
Montando as equações:
7 = a cdot 273.15 + b
27 = a cdot 373.15 + b
Subtraindo as duas equações para eliminar b:
20 = a cdot (373.15 - 273.15) Rightarrow 20 = a cdot 100 Rightarrow a = 0.2
Agora, encontrando b:
7 = 0.2 cdot 273.15 + b Rightarrow b = 7 - 54.63 = -47.63
Então, a relação entre Naldo e Kelvin é:
TNal = 0.2 cdot TK - 47.63

Passo 5

Por último, vamos relacionar a escala Naldo com a escala Fahrenheit. Sabemos que:
  • 32^circ F corresponde a 7^circ Nal
  • 212^circ F corresponde a 27^circ Nal
Montando as equações:
7 = a cdot 32 + b
27 = a cdot 212 + b
Subtraindo as duas equações:
20 = a cdot (212 - 32) Rightarrow 20 = a cdot 180 Rightarrow a = 19
Encontrando b:
7 = 19 cdot 32 + b Rightarrow b = 7 - 329 = 7 - 3.555ldots = 3.444ldots
Podemos expressar b como 319 para facilitar:
b = 319
Então, a relação entre Naldo e Fahrenheit é:
TNal = 19 cdot TF + 319

Resposta

As relações matemáticas que conectam a temperatura na escala Naldo ( TNal) com as escalas Celsius ( TC), Kelvin ( TK) e Fahrenheit ( TF) são:
TNal = 0.2 cdot TC + 7
TNal = 0.2 cdot TK - 47.63
TNal = 19 cdot TF + 319

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