Suponha que o espaço entre as placas das esferas, desde existe um , tal que , está preenchido com um dielétrico com .
(a) A partir da lei de Gauss determine o campo elétrico.(1, 0 - pts)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o campo elétrico no espaço entre duas esferas, especificamente na região onde a distância do centro, , está entre e . A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria específica, como a esférica. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em um meio dielétrico, onde a permissividade elétrica é .

Passo 2

Primeiro, lembremos da Lei de Gauss. Ela diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do meio :
Como estamos lidando com simetria esférica, o campo elétrico será radial e de mesma magnitude em todos os pontos de uma esfera de raio .

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio tal que . Nessa região, o dielétrico preenche o espaço, então usamos . A área da superfície gaussiana é:
Como é constante em magnitude sobre a superfície gaussiana e é radial, a integral da Lei de Gauss simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos determinar , que é a carga total dentro do raio . Se assumirmos que a carga total na esfera interna é , então (já que está entre e ). Substituindo na equação anterior:

Passo 5

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

O campo elétrico na região é:

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