Suponha que estamos interessados em estudar a resistência Y de um cabo de aço em função de seu diâmetro X. a partir de uma amostra coletada, percebemos que as variáveis são, aproximadamente, proporcionais, isto é, Y ≈ θX. O nosso objetivo é estimar o parâmetro θ, baseado nas medidas disponíveis em uma amostra de 10 unidades mostradas na tabela a seguir: X 0,50 0,60 0,75 0,80 0,90 1,05 1,20 1,30 1,50 1,65 Y 2,07 2,24 3,28 3,35 3,81 4,14 4,64 5,13 6,05 6,57 Qual seria um valor razoável de θ? a. Nenhuma das alternativas anteriores b. 2 c. 3 d. 4 e. 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer a gente descobrir o valor de θ que relaciona a resistência $ Y $ de um cabo de aço ao seu diâmetro $ X $. A relação é aproximada por $ Y \approx \theta X $. Temos uma tabela com 10 medições de $ X $ e $ Y $ e precisamos estimar $ \theta $ com base nesses dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ Y \approx \theta X $ é uma relação de proporcionalidade direta. Isso significa que $ Y $ varia diretamente com $ X $, e $ \theta $ é o fator de proporcionalidade. Para encontrar $ \theta $, podemos usar o método dos mínimos quadrados, que nos ajuda a encontrar a melhor estimativa de $ \theta $ que minimiza os erros entre os valores observados e os valores previstos pela nossa relação.
Passo 3
O método dos mínimos quadrados para uma relação linear $ Y = \theta X $ nos dá a fórmula para $ \theta $:
Isso significa que vamos multiplicar cada par $ X_i $ e $ Y_i $, somar todos esses produtos e dividir pela soma dos quadrados de cada $ X_i $.
Passo 4
Vamos calcular as somas necessárias:
Primeiro, multiplicamos $ X $ por $ Y $ para cada par:
Agora, somamos todos esses produtos:
Em seguida, calculamos o quadrado de cada $ X_i $:
Somando todos esses quadrados:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula para $ \theta $:
Resposta
Nenhuma das alternativas anteriores é a correta, já que o valor calculado para $ \theta $ é aproximadamente 4,63, que não está listado entre as opções. Portanto, a resposta é a letra a. Nenhuma das alternativas anteriores.