Suponha que estamos interessados em estudar a resistência Y de um cabo de aço em função de seu diâmetro X. a partir de uma amostra coletada, percebemos que as variáveis são, aproximadamente, proporcionais, isto é, Y ≈ θX. O nosso objetivo é estimar o parâmetro θ, baseado nas medidas disponíveis em uma amostra de 10 unidades mostradas na tabela a seguir: X 0,50 0,60 0,75 0,80 0,90 1,05 1,20 1,30 1,50 1,65 Y 2,07 2,24 3,28 3,35 3,81 4,14 4,64 5,13 6,05 6,57 Qual seria um valor razoável de θ? a. Nenhuma das alternativas anteriores b. 2 c. 3 d. 4 e. 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer a gente descobrir o valor de θ que relaciona a resistência $ Y $ de um cabo de aço ao seu diâmetro $ X $. A relação é aproximada por $ Y \approx \theta X $. Temos uma tabela com 10 medições de $ X $ e $ Y $ e precisamos estimar $ \theta $ com base nesses dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ Y \approx \theta X $ é uma relação de proporcionalidade direta. Isso significa que $ Y $ varia diretamente com $ X $, e $ \theta $ é o fator de proporcionalidade. Para encontrar $ \theta $, podemos usar o método dos mínimos quadrados, que nos ajuda a encontrar a melhor estimativa de $ \theta $ que minimiza os erros entre os valores observados e os valores previstos pela nossa relação.

Passo 3

O método dos mínimos quadrados para uma relação linear $ Y = \theta X $ nos dá a fórmula para $ \theta $:
Y = theta X
Isso significa que vamos multiplicar cada par $ X_i $ e $ Y_i $, somar todos esses produtos e dividir pela soma dos quadrados de cada $ X_i $.

Passo 4

Vamos calcular as somas necessárias:
Primeiro, multiplicamos $ X $ por $ Y $ para cada par:
X
Agora, somamos todos esses produtos:
Y
Em seguida, calculamos o quadrado de cada $ X_i $:
0,50 times 2,07 &= 1,035 0,60 times 2,24 &= 1,344 0,75 times 3,28 &= 2,46 0,80 times 3,35 &= 2,68 0,90 times 3,81 &= 3,429 1,05 times 4,14 &= 4,347 1,20 times 4,64 &= 5,568 1,30 times 5,13 &= 6,669 1,50 times 6,05 &= 9,075 1,65 times 6,57 &= 10,8405
Somando todos esses quadrados:
sum (Xi Yi) = 1,035 + 1,344 + 2,46 + 2,68 + 3,429 + 4,347 + 5,568 + 6,669 + 9,075 + 10,8405 = 52,7275

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula para $ \theta $:
theta

Resposta

Nenhuma das alternativas anteriores é a correta, já que o valor calculado para $ \theta $ é aproximadamente 4,63, que não está listado entre as opções. Portanto, a resposta é a letra a. Nenhuma das alternativas anteriores.

Exercícios relacionados