Suponha que
seja contínua em
.
Se
e
, o que podemos dizer sobre
?
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
cuja segunda derivada
é contínua em todo lugar. Além disso, sabemos que a primeira derivada em
é zero (
) e a segunda derivada também é zero nessa mesma posição (
). Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para entender o que isso nos diz sobre a função
.
Passo 2
Primeiro, quando
, isso significa que
é um ponto crítico da função
. Em termos simples, a inclinação da tangente à curva em
é horizontal.
Passo 3
Agora, a informação que
nos dá mais detalhes sobre a concavidade da função naquele ponto. A segunda derivada indica se a função está “curvada para cima” ou “para baixo”. Quando
, isso sugere que pode haver uma mudança na concavidade ou que o teste da segunda derivada não é conclusivo para determinar o tipo de ponto crítico.
Passo 4
Como a segunda derivada é contínua em todo o domínio e sabemos que
, podemos investigar derivadas de ordens superiores para entender melhor o comportamento de
em
. Se a primeira derivada que não n for zero em
for de ordem ímpar,
é um ponto de inflexão. Se for par, pode ser um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 5
Entretanto, sem informações adicionais sobre derivadas de ordens superiores ou sobre o comportamento da função ao redor de
, não podemos concluir exatamente se
é um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão. O que sabemos com certeza é que em
, a função tem uma inclinação horizontal e a concavidade não está definida apenas com os dados fornecidos.
Resposta
Em
, a função
possui uma tangente horizontal e a concavidade não está definida apenas com as informações dadas, indicando que pode ser um ponto de inflexão ou um ponto crítico de ordem superior.
Exercícios relacionados
Supon $x, f(0)$ $f^{\prime \prime}(-1$
$-1<$
(a) tiv
(b) É É tiv
(c) $\mathrm{E}$ $\mathrm{ab}$
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
e
para todo
(a) Est
(b)
© É F
É mo segui
$\frac{a}{d}$