​​​​​​​Suponha que as funções que definem essas curvas sejam dadas por:
y1(t) = t2 + 6
y2(t) = 2t2 + 1
a) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 1,5 ano?
b) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 3 anos?
c) Qual a taxa de crescimento dessas árvores em 1,5 e 3 anos?
d) Baseado nos dados encontrados, qual composto nutricional você diria que é melhor para a plantação?
Consegue me ajudar ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata de funções matemáticas que descrevem a altura de árvores ao longo do tempo, dependendo de dois compostos nutricionais diferentes. A gente vai precisar usar funções quadráticas para calcular a altura das árvores em diferentes períodos (1,5 e 3 anos) e também descobrir a taxa de crescimento dessas árvores nesses períodos. Depois, com esses dados, vamos analisar qual dos dois compostos é melhor para a plantação.

Passo 2

a) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 1,5 ano?
Primeiro, vamos entender as funções que descrevem a altura das árvores:
  • Para o primeiro composto: $ y_1(t) = t^2 + 6 $
  • Para o segundo composto: $ y_2(t) = 2t^2 + 1 $
Aqui, $ t $ representa o tempo em anos, e $ y(t) $ é a altura da árvore em algum ponto no tempo.
Queremos saber a altura das árvores após 1,5 anos. Vamos substituir $ t = 1,5 $ nas duas funções.
Para o primeiro composto:
y1(t) = t^2 + 6
y2(t) = 2t^2 + 1
t
Então, a altura da árvore com o primeiro composto após 1,5 anos é de 8,25 unidades (por exemplo, metros).
Para o segundo composto:
y(t)
t = 1,5
y1(1,5) = (1,5)^2 + 6
y1(1,5) = 2,25 + 6
Assim, a altura da árvore com o segundo composto após 1,5 anos é de 5,5 unidades.

Passo 3

b) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 3 anos?
Vamos repetir o mesmo processo, agora substituindo $ t = 3 $.
Para o primeiro composto:
t = 3
y1(3) = 3^2 + 6
y1(3) = 9 + 6
Portanto, a altura da árvore com o primeiro composto após 3 anos é de 15 unidades.
Para o segundo composto:
y1(3) = 15
y2(3) = 2 times 3^2 + 1
y2(3) = 2 times 9 + 1
y2(3) = 18 + 1
Assim, a altura da árvore com o segundo composto após 3 anos é de 19 unidades.

Passo 4

c) Qual a taxa de crescimento dessas árvores em 1,5 e 3 anos?
A taxa de crescimento pode ser entendida como a variação da altura em relação ao tempo. Para funções quadráticas, a taxa de crescimento depende da derivada da função em determinado ponto.
Vamos calcular a derivada de cada função em $ t = 1,5 $ e $ t = 3 $.
Para o primeiro composto ($ y_1(t) = t^2 + 6 $):
A derivada de $ y_1(t) $ em relação a $ t $ é:
t = 1,5
  • Em $ t = 1,5 $:
t = 3
- Em $ t = 3 $:
y1(t) = t^2 + 6
Para o segundo composto ($ y_2(t) = 2t^2 + 1 $):
A derivada de $ y_2(t) $ em relação a $ t $ é:
y1(t)
  • Em $ t = 1,5 $:
t
- Em $ t = 3 $:
y1'(t) = 2t
Então, as taxas de crescimento são:
  • Primeiro composto:
    • 1,5 anos: 3 unidades por ano
    • 3 anos: 6 unidades por ano
  • Segundo composto:
    • 1,5 anos: 6 unidades por ano
    • 3 anos: 12 unidades por ano

Passo 5

d) Baseado nos dados encontrados, qual composto nutricional você diria que é melhor para a plantação?
Vamos analisar os resultados:
  • Alturas após 1,5 anos:
    • Primeiro composto: 8,25 unidades
    • Segundo composto: 5,5 unidades
  • Alturas após 3 anos:
    • Primeiro composto: 15 unidades
    • Segundo composto: 19 unidades
  • Taxas de crescimento:
    • Primeiro composto:
      • 1,5 anos: 3 unidades/ano
      • 3 anos: 6 unidades/ano
    • Segundo composto:
      • 1,5 anos: 6 unidades/ano
      • 3 anos: 12 unidades/ano
Observamos que, no início (após 1,5 anos), o primeiro composto proporciona uma altura maior. Porém, com o passar do tempo, o segundo composto acelera mais o crescimento, resultando em uma altura final maior após 3 anos.
Portanto, se considerarmos o crescimento a longo prazo, o segundo composto nutricional é mais eficiente para a plantação, pois ele continua aumentando a taxa de crescimento das árvores de forma mais significativa.

Resposta

Após analisar todas as partes, concluímos que o segundo composto nutricional é mais adequado para a plantação, especialmente a longo prazo, já que proporciona um crescimento maior das árvores após 3 anos.

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