Uma fibra sintética, usada na fabricação de carpete, tem uma resistência à tração que é normalmente distribuída, com
média de 75,5 psi e desvio-padrão de 3,5 psi. Encontre a probabilidade APROXIMADA de uma amostra aleatória de n = 6
corpos de prova de fibra ter uma resistência média amostral à tração que exceda 75,75 psi e assinale a alternativa com
o resultado CORRETO:
O a. 43%.
b. 75%.
O c. 99%.
O d. 32%.
O e. 55%6.​

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a resistência à tração de uma fibra sintética usada em carpetes. Essa resistência segue uma distribuição normal com média de 75,5 psi e desvio-padrão de 3,5 psi. A pergunta é: qual a probabilidade de, em uma amostra de 6 fibras, a resistência média ultrapassar 75,75 psi? Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e à média amostral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a distribuição da média amostral. Quando a gente tem uma população com média (μ) e desvio-padrão (σ), a média de uma amostra de tamanho n também segue uma distribuição normal, com média igual a μ e desvio-padrão igual a σ dividido pela raiz quadrada de n. Isso se chama erro padrão da média.
A fórmula para o erro padrão (EP) é:
EP = sigmaraizn

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão usando os valores que temos:
  • σ = 3,5 psi
  • n = 6
Então:
EP = 3,5raiz6 approx 3,52,449 approx 1,43 , psi

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média da amostra (X̄) seja maior que 75,75 psi. Para isso, vamos calcular o valor z, que nos diz quantos desvios-padrão a média amostral está acima da média da população.
A fórmula para o valor z é:
z = X̄ - muEP
Onde:
  • X̄ = 75,75 psi
  • μ = 75,5 psi
  • EP ≈ 1,43 psi

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do z:
z = 75,75 - 75,51,43 = 0,251,43 approx 0,175

Passo 6

Com o valor z ≈ 0,175, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor na tabela da distribuição normal padrão. Isso nos dará a probabilidade de a média amostral ser menor que 75,75 psi. Como queremos a probabilidade de ser maior, vamos subtrair esse valor de 1 (ou 100%).
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, vemos que a probabilidade de z < 0,175 é aproximadamente 0,569 ou 56,9%.

Passo 7

Então, a probabilidade de a média amostral ser maior que 75,75 psi é:
1 - 0,569 = 0,431 , ou , 43,1%

Resposta

A probabilidade aproximada é de 43%.

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