Suponha que as hipóteses H0: μ = 100 e H1: μ ≠ 100 elaboradas para a média de uma variável X ~ N(μ,9). Para testar essas hipóteses coletou-se uma amostra de tamanho n = 36 e obteve-se uma média de 98. Considere um nível de significância α = 5%, calcule a estatística do teste para média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar uma hipótese sobre a média de uma variável que segue uma distribuição normal. Especificamente, temos duas hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): μ = 100
  • Hipótese alternativa (H₁): μ ≠ 100
A gente coletou uma amostra com tamanho $ n = 36 $ e a média dessa amostra foi 98. O nível de significância escolhido é de 5%. Nosso objetivo é calcular a estatística do teste para essa média.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Teste de Hipóteses para a Média com distribuição normal, especialmente o Teste Z.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual fórmula usar para calcular a estatística do teste. Como a variância da população é conhecida (σ² = 9, então σ = 3) e a amostra é grande (n = 36), podemos usar o Teste Z.
A fórmula do Teste Z é:
z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra
  • $ \mu_0 $ é a média sob a hipótese nula
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população
  • $ n $ é o tamanho da amostra

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ \bar{x} = 98 $ (média da amostra)
  • $ \mu_0 = 100 $ (média da hipótese nula)
  • $ \sigma = 3 $ (desvio padrão, já que $ \sigma^2 = 9 $)
  • $ n = 36 $ (tamanho da amostra)

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do Teste Z:
z = 98 - 1003 / raiz36
Primeiro, calculamos o denominador:
3raiz36 = 36 = 0,5
Então, a fórmula fica:
z = -20,5 = -4

Resposta

A estatística do teste é $ z = -4 $.

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