As trajetórias de um objeto lançado, muitas vezes podem ser descritas pelo polinômio do segundo grau. Suponha que a função h(t)=-16t²+96t descreve a altura, em centímetros, que a bola está do solo, no instante t, em segundos. Dentro desse contexto, analise as afirmações a seguir. I. O tempo em que a bola atinge a altura 80 cm são 1 segundo e 5 segundos. II. O gráfico da função h é uma parábola com concavidade para cima. III. O tempo que a bola gasta para cair no solo é 6 segundos. IV. A altura que a bola atinge em 2 segundos é 100 metros e ela atinge a mesma altura em instante igual a 4 segundos. Está correto o que se afirma em Alternativas:
a) I e III, apenas.
b) I e IV, apenas.
c) I, II e III, apenas.
d) II, III e IV, apenas.
e) I, II, III e IV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre trajetórias de objetos lançados que usa uma função quadrática para descrever a altura da bola em função do tempo. A função dada é $ h(t) = -16t^2 + 96t $, onde $ h(t) $ é a altura em centímetros e $ t $ é o tempo em segundos. Vamos analisar as quatro afirmações para ver quais estão corretas usando conceitos de funções quadráticas.

Passo 2

Afirmação I: O tempo em que a bola atinge a altura 80 cm são 1 segundo e 5 segundos.
Para verificar isso, precisamos encontrar os valores de $ t $ que satisfazem $ h(t) = 80 $.
Então, substituímos na função:
t
Vamos resolver essa equação quadrática. Primeiro, trazemos tudo para um lado:
h(t) = 80
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -16:
-16t^2 + 96t = 80
Agora, fatoramos a equação:
-16t^2 + 96t - 80 = 0
Isso nos dá duas soluções:
t^2 - 6t + 5 = 0
Então, a afirmação I está correta.

Passo 3

Afirmação II: O gráfico da função $ h $ é uma parábola com concavidade para cima.
Sabemos que a forma geral de uma função quadrática é:
h
A concavidade da parábola é determinada pelo coeficiente $ a $:
  • Se $ a > 0 $, a parábola é côncava para cima.
  • Se $ a < 0 $, a parábola é côncava para baixo.
No nosso caso, $ a = -16 $, que é menor que zero. Portanto, a parábola é côncava para baixo, não para cima. A afirmação II está incorreta.

Passo 4

Afirmação III: O tempo que a bola gasta para cair no solo é 6 segundos.
Para encontrar quando a bola atinge o solo, precisamos encontrar quando $ h(t) = 0 $:
h(t) = 0
Fatorando:
-16t^2 + 96t = 0
Isso nos dá duas soluções:
t(-16t + 96) = 0
Ignoramos $ t = 0 $ porque é quando a bola foi lançada. Portanto, a bola leva 6 segundos para cair no solo. A afirmação III está correta.

Passo 5

Afirmação IV: A altura que a bola atinge em 2 segundos é 100 metros e ela atinge a mesma altura em instante igual a 4 segundos.
Primeiro, vamos calcular a altura em $ t = 2 $ segundos:
t = 2
Convertendo para metros:
h(2) = -16(2)^2 + 96(2) = -16(4) + 192 = -64 + 192 = 128 cm
A afirmação diz que a altura é 100 metros, o que está errado, já que é 1,28 metros.
Mesmo que a bola atinja a mesma altura em $ t = 4 $ segundos, a parte dos 100 metros está incorreta. Portanto, a afirmação IV está incorreta.

Resposta

Apenas as afirmações I e III estão corretas. Portanto, a alternativa correta é a) I e III, apenas.

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