Suponha que as hipóteses H0: μ = 100 e H1: μ ≠ 100 elaboradas para a média de uma variável X ~ N(μ,9). Para testar essas hipóteses coletou-se uma amostra de tamanho n = 36 e obteve-se uma média de 98. Considere um nível de significância α = 5%, calcule a estatística do teste para média. Assinale a alternativa que contém a estatística do teste.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente testar se a média de uma variável $ X $, que segue uma distribuição normal $ N(\mu, 9) $, é igual a 100 ou diferente disso. A gente tem duas hipóteses:
- H0: $ \mu = 100 $ (a média é 100)
- H1: $ \mu \neq 100 $ (a média é diferente de 100)
A gente coletou uma amostra de tamanho $ n = 36 $ e calculou a média dessa amostra, que foi 98. O nível de significância escolhido para o teste é $ \alpha = 5% $. Vamos precisar usar a distribuição normal padrão e a fórmula da estatística de teste para a média.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a estatística do teste para a média quando conhecemos a variância da população. A fórmula é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra
- $ \mu_0 $ é a média sob a hipótese nula
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população
- $ n $ é o tamanho da amostra
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ \bar{x} = 98 $
- $ \mu_0 = 100 $
- $ \sigma^2 = 9 $ então $ \sigma = \sqrt{9} = 3 $
- $ n = 36 $
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o denominador:
Passo 5
Agora, fazemos a conta:
Resposta
A estatística do teste é $ z = -4 $.