Suponha que as hipóteses H0: μ = 100 e H1: μ ≠ 100 elaboradas para a média de uma variável X ~ N(μ,9). Para testar essas hipóteses coletou-se uma amostra de tamanho n = 36 e obteve-se uma média de 98. Considere um nível de significância α = 5%, calcule a estatística do teste para média. Assinale a alternativa que contém a estatística do teste.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente testar se a média de uma variável $ X $, que segue uma distribuição normal $ N(\mu, 9) $, é igual a 100 ou diferente disso. A gente tem duas hipóteses:
  • H0: $ \mu = 100 $ (a média é 100)
  • H1: $ \mu \neq 100 $ (a média é diferente de 100)
A gente coletou uma amostra de tamanho $ n = 36 $ e calculou a média dessa amostra, que foi 98. O nível de significância escolhido para o teste é $ \alpha = 5% $. Vamos precisar usar a distribuição normal padrão e a fórmula da estatística de teste para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a estatística do teste para a média quando conhecemos a variância da população. A fórmula é:
z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra
  • $ \mu_0 $ é a média sob a hipótese nula
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população
  • $ n $ é o tamanho da amostra

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ \bar{x} = 98 $
  • $ \mu_0 = 100 $
  • $ \sigma^2 = 9 $ então $ \sigma = \sqrt{9} = 3 $
  • $ n = 36 $

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
z = 98 - 1003 / raiz36
Primeiro, calculamos o denominador:
3raiz36 = 36 = 0,5

Passo 5

Agora, fazemos a conta:
z = 98 - 1000,5 = -20,5 = -4

Resposta

A estatística do teste é $ z = -4 $.

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