Suponha que um livro de 585 páginas contém 43 erros tipográficos. Se esses erros estiverem aleatoriamente distribuídos pelo livro, qual a probabilidade de:
a) Uma página qualquer não ter erros;
b) Onze páginas escolhidas ao acaso não terem erros.
c) O número médio de erros por página.
a) Uma página qualquer não ter erros;
b) Onze páginas escolhidas ao acaso não terem erros.
c) O número médio de erros por página.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um livro com 585 páginas e 43 erros de digitação espalhados aleatoriamente. Precisamos calcular algumas probabilidades relacionadas a isso. Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial e o cálculo de média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade de uma página qualquer não ter erros. Como os erros estão distribuídos aleatoriamente, a chance de um erro estar em uma página específica é igual para todas as páginas.
Passo 3
A probabilidade de um único erro não estar em uma página específica é:
Porque há uma chance em 585 de que o erro esteja naquela página.
Passo 4
Como existem 43 erros independentes, a probabilidade de nenhum dos 43 erros estar em uma página é:
Isso é baseado na regra de multiplicação das probabilidades independentes.
Passo 5
Agora, vamos calcular isso numericamente:
Aqui, usamos a aproximação
para simplificar os cálculos, onde
.
Passo 6
Portanto, a probabilidade de uma página qualquer não ter erros é aproximadamente 93,0%.
Passo 7
Agora, vamos para a próxima parte: a probabilidade de onze páginas escolhidas ao acaso não terem erros.
Passo 8
Se a probabilidade de uma página não ter erros é 0,930, então, para 11 páginas, assumindo que a escolha de cada página é independente, a probabilidade é:
Passo 9
Calculando isso:
Então, a probabilidade é aproximadamente 45,1%.
Passo 10
Por fim, vamos encontrar o número médio de erros por página.
Passo 11
A média (
) é simplesmente o total de erros dividido pelo número de páginas:
Resposta
a) A probabilidade de uma página qualquer não ter erros é aproximadamente 93,0%.
b) A probabilidade de onze páginas escolhidas ao acaso não terem erros é aproximadamente 45,1%.
c) O número médio de erros por página é 0,073.