Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=cc c x2, & 0á
(a) Determine o valor de c.
(b) Calcule a P(1.
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de uma função densidade de probabilidade para descrever a necessidade diária de um medicamento em um hospital. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integrais, e entender propriedades de funções densidade de probabilidade para resolver as partes (a) a (d).

Passo 2

Parte (a): Determinar o valor de integral-infty^infty f(x) , dx = 1 .
Primeiro, lembra que para integral0^3 c x2 , dx = 1 ser uma função densidade de probabilidade válida, a integral de c2 integral0^3 x , dx = c2 [ x^22 ]0^3 = c2 ( 92 - 0 ) = 9c4 em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
9c4 = 1 implies c = 49
No nosso caso, é diferente de zero apenas entre 0 e 3. Então, vamos integrar de 0 a 3:
Vamos calcular essa integral:
Igualando a 1:

Passo 3

Parte (b): Calcular P(1 < X < 2) = integral1^2 f(x) , dx .
Para encontrar a probabilidade de f(x) = c x2 = 49 x2 = 2x9 estar entre 1 e 2, usamos a definição de probabilidade em uma função densidade:
P(1 < X < 2) = integral1^2 2x9 , dx = 29 [ x^22 ]1^2 = 29 ( 42 - 12 ) = 29 cdot 32 = 39 = 13
Substituindo e :
Então,

Passo 4

Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis P(X <= xp) = p e calcular os quartis.
Os quantis são valores que dividem a distribuição em partes iguais. A expressão geral para o quantil integral0^xp f(x) , dx = p é obtenção do valor integral0^xp 2x9 , dx = 29 cdot xp^22 = xp^29 = p implies xp = raiz9p = 3raizp tal que:
x0.25 = 3raiz0.25 = 3 times 0.5 = 1.5
Isso significa que:
x0.5 = 3raiz0.5 approx 3 times 0.7071 approx 2.121
Substituindo x0.75 = 3raiz0.75 approx 3 times 0.8660 approx 2.598 :
Agora, para calcular os quartis, que são os quantis para (primeiro quartil), (mediana) e (terceiro quartil):
  • Primeiro quartil ( ):
  • Mediana ( ):
  • Terceiro quartil ( ):

Passo 5

Parte (d): Calcular E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx e E(X^2) = integral-infty^infty x^2 f(x) , dx .
Para encontrar o valor esperado Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 e a variância E(X) = integral0^3 x cdot 2x9 , dx = 29 integral0^3 x^2 , dx = 29 [ x^33 ]0^3 = 29 cdot 273 = 29 cdot 9 = 2 , usamos as seguintes fórmulas:
E(X^2) = integral0^3 x^2 cdot 2x9 , dx = 29 integral0^3 x^3 , dx = 29 [ x^44 ]0^3 = 29 cdot 814 = 16236 = 4.5
Var(X) = 4.5 - (2)^2 = 4.5 - 4 = 0.5
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Finalmente, a variância:

Resposta

(a)
(b)
© A expressão do quantil é . Os quartis são:
  • Primeiro quartil:
  • Mediana:
  • Terceiro quartil:
(d) e

Exercícios relacionados