Suponha que a partícula do Problema 7-1 seja um elétron e L=0,10 nm. Determine as energias das transições do terceiro, quarto e quinto estados excitados para o estado fundamental.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um elétron confinado em um espaço de comprimento $ L = 0,10 $ nm. Precisamos determinar as energias das transições dos terceiro, quarto e quinto estados excitados para o estado fundamental.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o modelo da partícula na caixa (ou partícula no potencial infinito), que é uma maneira de quantizar a energia de partículas confinadas.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da energia dos níveis quantizados para uma partícula na caixa.
  • Valores constantes como a massa do elétron ($ m_e L = 0,10 h $).

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula para a energia dos níveis quânticos de uma partícula na caixa:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • $ E_n $ é a energia no nível $ n $.
  • $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …).
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s).
  • $ m $ é a massa da partícula (para o elétron, $ m_e = 9,109 \times 10^{-31} $ kg).
  • $ L $ é o comprimento da caixa ($ 0,10 $ nm = $ 0,10 \times 10^{-9} $ m).

Passo 3

Precisamos identificar quais são os estados excitados mencionados:
  • Estado fundamental: $ n = 1 $.
  • Primeiro estado excitado: $ n = 2 $.
  • Segundo estado excitado: $ n = 3 $.
  • Terceiro estado excitado: $ n = 4 $.
  • Quarto estado excitado: $ n = 5 $.
  • Quinto estado excitado: $ n = 6 $.
Portanto, as transições que vamos calcular são de $ n = 4 $, $ n = 5 $ e $ n = 6 $ para $ n = 1 $.

Passo 4

Vamos calcular a energia para cada estado usando a fórmula:
En = n^2 h^28 me L^2
Primeiro, calculamos a constante:
h^28 me L^2
Substituindo os valores:
h = 6,626 times 10^-34 J·s
me = 9,109 times 10^-31 kg
L = 0,10 times 10^-9 m
Calculando:
h^28 me L^2 = (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times (0,10 times 10^-9)^2
= 4,39 times 10^-678 times 9,109 times 10^-31 times 1,0 times 10^-20
= 4,39 times 10^-677,2872 times 10^-50
= 6,02 times 10^-18 J

Passo 5

Agora, calculamos a energia para cada estado excitado:
En = n^2 times 6,02 times 10^-18 J
Para $ n = 4 $:
n = 4
Para $ n = 5 $:
E4 = 4^2 times 6,02 times 10^-18 = 16 times 6,02 times 10^-18 = 9,63 times 10^-17 J
Para $ n = 6 $:
n = 5

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia do estado fundamental ($ n = 1 $):
n = 1

Passo 7

Para encontrar as energias das transições dos estados excitados para o estado fundamental, subtraímos $ E_1 $ de cada $ E_n $:
Para $ n = 4 $:
E1
Para $ n = 5 $:
En
Para $ n = 6 $:
n = 4

Resposta

As energias das transições dos terceiro, quarto e quinto estados excitados para o estado fundamental são:
  • De
  • De
  • De

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