Suponha que a partícula do Problema 7-1 seja um elétron e
. Determine as energias das transições do terceiro, quarto e quinto estados excitados para o estado fundamental.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um elétron confinado em um espaço de comprimento $ L = 0,10 $ nm. Precisamos determinar as energias das transições dos terceiro, quarto e quinto estados excitados para o estado fundamental.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o modelo da partícula na caixa (ou partícula no potencial infinito), que é uma maneira de quantizar a energia de partículas confinadas.
O que vamos precisar:
- Fórmula da energia dos níveis quantizados para uma partícula na caixa.
- Valores constantes como a massa do elétron ($ m_e
h $).
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a fórmula para a energia dos níveis quânticos de uma partícula na caixa:
Onde:
- $ E_n $ é a energia no nível $ n $.
- $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …).
- $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s).
- $ m $ é a massa da partícula (para o elétron, $ m_e = 9,109 \times 10^{-31} $ kg).
- $ L $ é o comprimento da caixa ($ 0,10 $ nm = $ 0,10 \times 10^{-9} $ m).
Passo 3
Precisamos identificar quais são os estados excitados mencionados:
- Estado fundamental: $ n = 1 $.
- Primeiro estado excitado: $ n = 2 $.
- Segundo estado excitado: $ n = 3 $.
- Terceiro estado excitado: $ n = 4 $.
- Quarto estado excitado: $ n = 5 $.
- Quinto estado excitado: $ n = 6 $.
Portanto, as transições que vamos calcular são de $ n = 4 $, $ n = 5 $ e $ n = 6 $ para $ n = 1 $.
Passo 4
Vamos calcular a energia para cada estado usando a fórmula:
Primeiro, calculamos a constante:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 5
Agora, calculamos a energia para cada estado excitado:
Para $ n = 4 $:
Para $ n = 5 $:
Para $ n = 6 $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia do estado fundamental ($ n = 1 $):
Passo 7
Para encontrar as energias das transições dos estados excitados para o estado fundamental, subtraímos $ E_1 $ de cada $ E_n $:
Para $ n = 4 $:
Para $ n = 5 $:
Para $ n = 6 $:
Resposta
As energias das transições dos terceiro, quarto e quinto estados excitados para o estado fundamental são: