Uma partícula se desloca segundo a função x(t)=8 t^2-t^4 metros.
Calcule a aceleração no mesmo instante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move de acordo com a função x(t)=8 t^2-t^4 metros. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração dessa partícula no mesmo instante. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a posição, velocidade e aceleração mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a posição da partícula é dada por x(t)=8 t^2-t^4. Para encontrar a velocidade, precisamos calcular a primeira derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, v(t) = dxdt.
A derivada basicamente nos diz a taxa de variação de uma função. Então, ao derivar x(t), conseguimos a velocidade da partícula em qualquer instante t.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada:
v(t) = ddt(8 t^2 - t^4) = 16 t - 4 t^3
Então, a velocidade da partícula é v(t) = 16 t - 4 t^3 metros por segundo.

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração, precisamos calcular a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t) = dvdt.
A aceleração nos mostra como a velocidade está mudando a cada instante.

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada:
a(t) = ddt(16 t - 4 t^3) = 16 - 12 t^2
Então, a aceleração da partícula é a(t) = 16 - 12 t^2 metros por segundo ao quadrado.

Resposta

A aceleração da partícula no instante t é dada por:
a(t) = 16 - 12 t^2 m/s² ²

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