Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de 0,2 . Numa mesa de testes, os componentes são testados um a um. Determine a probabilidade do primeiro defeito encontrado ocorrer no sétimo componente testado. Indique o valor esperado do número de componentes testados até aparecer o primeiro defeito, bem como a variância desse número.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos componentes de computador com uma probabilidade de 20% de serem defeituosos. Eles são testados um a um. Precisamos descobrir três coisas:
- A probabilidade de o primeiro defeito aparecer exatamente no sétimo teste.
- O valor esperado (média) de quantos componentes precisamos testar até encontrar o primeiro defeito.
- A variância desse número de testes.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Geométrica, que é adequada para problemas onde queremos saber quantas tentativas são necessárias até o primeiro sucesso (neste caso, o primeiro defeito).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no sétimo componente testado. Na Distribuição Geométrica, a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer no n-ésimo teste é dada por:
Onde:
-
(probabilidade de defeito) -
Então, substituindo os valores:
Passo 3
Vamos calcular o valor de
:
Agora, multiplicamos por 0,2:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado
da Distribuição Geométrica. A fórmula é:
Substituindo
:
Isso significa que, em média, precisamos testar 5 componentes para encontrar o primeiro defeito.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a variância
da Distribuição Geométrica. A fórmula é:
Substituindo
:
Resposta
A probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no sétimo componente testado é aproximadamente 0,0524. O valor esperado do número de componentes testados até aparecer o primeiro defeito é 5, e a variância desse número é 20.