Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de 0,2 . Numa mesa de testes, os componentes são testados um a um. Determine a probabilidade do primeiro defeito encontrado ocorrer no sétimo componente testado. Indique o valor esperado do número de componentes testados até aparecer o primeiro defeito, bem como a variância desse número.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos componentes de computador com uma probabilidade de 20% de serem defeituosos. Eles são testados um a um. Precisamos descobrir três coisas:
  1. A probabilidade de o primeiro defeito aparecer exatamente no sétimo teste.
  2. O valor esperado (média) de quantos componentes precisamos testar até encontrar o primeiro defeito.
  3. A variância desse número de testes.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Geométrica, que é adequada para problemas onde queremos saber quantas tentativas são necessárias até o primeiro sucesso (neste caso, o primeiro defeito).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no sétimo componente testado. Na Distribuição Geométrica, a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer no n-ésimo teste é dada por:
P(X = n) = (1 - p)^n-1 times p
Onde:
  • P(X = 7) = (1 - 0,2)^7-1 times 0,2 = 0,8^6 times 0,2 (probabilidade de defeito)
Então, substituindo os valores:

Passo 3

Vamos calcular o valor de 0,8^6 = 0,262144 :
P(X = 7) = 0,262144 times 0,2 = 0,0524288
Agora, multiplicamos por 0,2:

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado E(X) = 1p da Distribuição Geométrica. A fórmula é:
E(X) = 10,2 = 5
Substituindo :
Isso significa que, em média, precisamos testar 5 componentes para encontrar o primeiro defeito.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a variância Var(X) = 1 - pp^2 da Distribuição Geométrica. A fórmula é:
Var(X) = 1 - 0,2(0,2)^2 = 0,80,04 = 20
Substituindo :

Resposta

A probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no sétimo componente testado é aproximadamente 0,0524. O valor esperado do número de componentes testados até aparecer o primeiro defeito é 5, e a variância desse número é 20.

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