Ônibus chegam em uma determinada parada em intervalos de 15 minutos começando as 7:00. Isto é, eles chegam às 7:00, 7:15, 7:30, 7:45, e assim por diante. Se um passageiro chega na parada em um instante de tempo que é uniformemente distribuído entre 7:00 e 7:30, determine a probabilidade de que ele espere:
menos que 5 minutos por um ônibus. (Resposta: 1/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre ônibus que chegam em uma parada a cada 15 minutos, começando às 7:00. Nosso amigo chega na parada em um horário aleatório entre 7:00 e 7:30. A gente quer descobrir a probabilidade dele esperar menos que 5 minutos por um ônibus. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o intervalo de tempo em que o ônibus chega. Como os ônibus chegam a cada 15 minutos, dentro do período das 7:00 às 7:30 teremos três chegadas: às 7:00, 7:15 e 7:30.

Passo 3

O passageiro chega em um horário aleatório entre 7:00 e 7:30. Isso significa que o tempo de chegada dele, vamos chamar de , é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo minutos.

Passo 4

Queremos achar a probabilidade de que o tempo de espera seja menor que 5 minutos, ou seja, .

Passo 5

Vamos pensar em intervalos consecutivos entre as chegadas dos ônibus:
  • Das 7:00 às 7:15
  • Das 7:15 às 7:30
Dentro de cada intervalo de 15 minutos, o tempo de espera varia de 0 a 15 minutos.

Passo 6

Para esperar menos que 5 minutos, o passageiro deve chegar em uma janela de tempo de 5 minutos antes da chegada do próximo ônibus. Em cada intervalo de 15 minutos, isso corresponde a uma faixa de 5 minutos.

Passo 7

Então, em cada intervalo de 15 minutos, a probabilidade de esperar menos que 5 minutos é a razão entre o tempo favorável (5 minutos) e o tempo total do intervalo (15 minutos):
P(W < 5) = 515 = 13

Resposta

A probabilidade de esperar menos que 5 minutos por um ônibus é .

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