Suponha que a probabilidade de um teste de gravidez resultar em um falso negativo (ou seja, não acusar gravidez quando a mulher testada está grávida) é 5 %, e de resultar em um falso positivo (ou seja, acusar gravidez quando a mulher não está grávida) é de 2 %. Uma amiga sua acredita estar grávida com 80 % de probabilidade, em virtude de alguns episódios recentes, e você a aconselha a fazer o referido teste. Baseado na crença desta sua amiga:
se o teste acusa resultado negativo, com qual probabilidade sua amiga ainda pode acreditar que está grávida?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente precisa descobrir a probabilidade de sua amiga ainda estar grávida mesmo depois do teste dar negativo. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar entender as taxas de falso positivo e falso negativo do teste, assim como a crença inicial da sua amiga sobre estar grávida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que a gente tem:
  • Taxa de falso negativo (não detectar gravidez quando a mulher está grávida): 5% ou 0,05
  • Taxa de falso positivo (detectar gravidez quando a mulher não está grávida): 2% ou 0,02
  • Probabilidade inicial da sua amiga estar grávida: 80% ou 0,8
Queremos descobrir: Qual a probabilidade da sua amiga ainda estar grávida sabendo que o teste deu negativo?

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar nossas crenças com base em novas informações. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Neste contexto:
  • $ A $ é o evento “sua amiga está grávida”.
  • $ B $ é o evento “o teste deu negativo”.
Então, queremos calcular $ P(A|B) $.

Passo 4

Vamos identificar cada parte da fórmula:
  • $ P(A) $ é a probabilidade inicial de sua amiga estar grávida, que é 0,8.
  • $ P(B|A) $ é a probabilidade do teste dar negativo se ela está realmente grávida, que é a taxa de falso negativo: 0,05.
  • $ P(B) $ é a probabilidade do teste dar negativo, independentemente de ela estar ou não grávida.

Passo 5

Para encontrar $ P(B) $, usamos a regra da probabilidade total:
P(B)
Onde:
  • $ P(\neg A) $ é a probabilidade de sua amiga não estar grávida, que é 1 - 0,8 = 0,2.
  • $ P(B|\neg A) $ é a probabilidade do teste dar negativo se ela não está grávida. Se o teste dá positivo em 2% das vezes quando não está grávida, então ele dá negativo em 98% das vezes: 0,98.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P(B) $:
P(B)

Passo 7

Com todos os valores, agora podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar $ P(A|B) $:
P(A|B)

Resposta

A probabilidade de sua amiga ainda estar grávida, mesmo com o teste dando negativo, é de aproximadamente 16,95%.

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