Suponha que a probabilidade de um teste de gravidez resultar em um falso negativo (ou seja, não acusar gravidez quando a mulher testada está grávida) é
, e de resultar em um falso positivo (ou seja, acusar gravidez quando a mulher não está grávida) é de
. Uma amiga sua acredita estar grávida com
de probabilidade, em virtude de alguns episódios recentes, e você a aconselha a fazer o referido teste. Baseado na crença desta sua amiga:
se o teste acusa resultado negativo, com qual probabilidade sua amiga ainda pode acreditar que está grávida?
se o teste acusa resultado negativo, com qual probabilidade sua amiga ainda pode acreditar que está grávida?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente precisa descobrir a probabilidade de sua amiga ainda estar grávida mesmo depois do teste dar negativo. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar entender as taxas de falso positivo e falso negativo do teste, assim como a crença inicial da sua amiga sobre estar grávida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que a gente tem:
- Taxa de falso negativo (não detectar gravidez quando a mulher está grávida): 5% ou 0,05
- Taxa de falso positivo (detectar gravidez quando a mulher não está grávida): 2% ou 0,02
- Probabilidade inicial da sua amiga estar grávida: 80% ou 0,8
Queremos descobrir: Qual a probabilidade da sua amiga ainda estar grávida sabendo que o teste deu negativo?
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar nossas crenças com base em novas informações. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Neste contexto:
- $ A $ é o evento “sua amiga está grávida”.
- $ B $ é o evento “o teste deu negativo”.
Então, queremos calcular $ P(A|B) $.
Passo 4
Vamos identificar cada parte da fórmula:
- $ P(A) $ é a probabilidade inicial de sua amiga estar grávida, que é 0,8.
- $ P(B|A) $ é a probabilidade do teste dar negativo se ela está realmente grávida, que é a taxa de falso negativo: 0,05.
- $ P(B) $ é a probabilidade do teste dar negativo, independentemente de ela estar ou não grávida.
Passo 5
Para encontrar $ P(B) $, usamos a regra da probabilidade total:
Onde:
- $ P(\neg A) $ é a probabilidade de sua amiga não estar grávida, que é 1 - 0,8 = 0,2.
- $ P(B|\neg A) $ é a probabilidade do teste dar negativo se ela não está grávida. Se o teste dá positivo em 2% das vezes quando não está grávida, então ele dá negativo em 98% das vezes: 0,98.
Passo 6
Agora, vamos calcular $ P(B) $:
Passo 7
Com todos os valores, agora podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar $ P(A|B) $:
Resposta
A probabilidade de sua amiga ainda estar grávida, mesmo com o teste dando negativo, é de aproximadamente 16,95%.