Verifique se as coleções de eventos abaixo foram uma partição do espaço amostral associado.
No espaço amostral Omega=1,2, ldots, 199,200, os eventos:
& A1= numero múúú

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se as coleções de eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega = {1, 2, ···, 200} $. Aqui, estamos lidando com Teoria dos Conjuntos e Probabilidade Básica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma partição: basicamente, é dividir todo o espaço amostral em eventos mutuamente exclusivos que, juntos, cobrem todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada evento representa:
  • $ A_1 $: números múltiplos de 14.
  • $ A_2 $: números múltiplos de 15.
  • $ A_3 $: o complemento da união de $ A_1 $ e $ A_2 $, ou seja, todos os números que NÃO são múltiplos de 14 nem de 15.

Passo 3

Para que $ {A_1, A_2, A_3} $ seja uma partição de $ \Omega $, precisamos verificar duas coisas:
  1. Cobertura Completa: A união de $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ deve ser igual a $ \Omega $.
  2. Mutuamente Exclusivos: Nenhum número pode pertencer a mais de um desses conjuntos ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos começar pela Cobertura Completa.
Sabemos que:
A3 = (A1 cup A2)^C
Isso significa que $ A_3 $ contém todos os números que não estão em $ A_1 $ nem em $ A_2 $. Portanto, juntando $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $, cobrimos todos os possíveis números de 1 a 200.
A3
Assim, a cobertura completa está garantida.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os conjuntos são Mutuamente Exclusivos.
Para isso, precisamos ver se:
  • A interseção de $ A_1 $ e $ A_2 $ é vazia.
  • A interseção de $ A_1 $ e $ A_3 $ é vazia.
  • A interseção de $ A_2 $ e $ A_3 $ é vazia.
Sabemos que $ A_3 $ é o complemento de $ A_1 \cup A_2 $, ou seja, $ A_3 $ não compartilha elementos com $ A_1 $ nem com $ A_2 $.
Agora, analisando $ A_1 $ e $ A_2 $:
  • Múltiplos de 14: 14, 28, 42, …, 196.
  • Múltiplos de 15: 15, 30, 45, …, 195.
Vamos ver se há algum número que seja múltiplo de 14 e 15 ao mesmo tempo, ou seja, múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC) de 14 e 15.
Calculando o MMC de 14 e 15:
A1
Mas nosso espaço amostral vai até 200, então não existe número em $ \Omega $ que seja múltiplo de 14 e 15 simultaneamente. Portanto, $ A_1 $ e $ A_2 $ são mutuamente exclusivos.

Resposta

Sim, as coleções de eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega $.

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