Verifique se as coleções de eventos abaixo foram uma partição do espaço amostral associado.
No espaço amostral
, os eventos:
No espaço amostral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se as coleções de eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega = {1, 2, ···, 200} $. Aqui, estamos lidando com Teoria dos Conjuntos e Probabilidade Básica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma partição: basicamente, é dividir todo o espaço amostral em eventos mutuamente exclusivos que, juntos, cobrem todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada evento representa:
- $ A_1 $: números múltiplos de 14.
- $ A_2 $: números múltiplos de 15.
- $ A_3 $: o complemento da união de $ A_1 $ e $ A_2 $, ou seja, todos os números que NÃO são múltiplos de 14 nem de 15.
Passo 3
Para que $ {A_1, A_2, A_3} $ seja uma partição de $ \Omega $, precisamos verificar duas coisas:
- Cobertura Completa: A união de $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ deve ser igual a $ \Omega $.
- Mutuamente Exclusivos: Nenhum número pode pertencer a mais de um desses conjuntos ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos começar pela Cobertura Completa.
Sabemos que:
Isso significa que $ A_3 $ contém todos os números que não estão em $ A_1 $ nem em $ A_2 $. Portanto, juntando $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $, cobrimos todos os possíveis números de 1 a 200.
Assim, a cobertura completa está garantida.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os conjuntos são Mutuamente Exclusivos.
Para isso, precisamos ver se:
- A interseção de $ A_1 $ e $ A_2 $ é vazia.
- A interseção de $ A_1 $ e $ A_3 $ é vazia.
- A interseção de $ A_2 $ e $ A_3 $ é vazia.
Sabemos que $ A_3 $ é o complemento de $ A_1 \cup A_2 $, ou seja, $ A_3 $ não compartilha elementos com $ A_1 $ nem com $ A_2 $.
Agora, analisando $ A_1 $ e $ A_2 $:
- Múltiplos de 14: 14, 28, 42, …, 196.
- Múltiplos de 15: 15, 30, 45, …, 195.
Vamos ver se há algum número que seja múltiplo de 14 e 15 ao mesmo tempo, ou seja, múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC) de 14 e 15.
Calculando o MMC de 14 e 15:
Mas nosso espaço amostral vai até 200, então não existe número em $ \Omega $ que seja múltiplo de 14 e 15 simultaneamente. Portanto, $ A_1 $ e $ A_2 $ são mutuamente exclusivos.
Resposta
Sim, as coleções de eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega $.