Suponha que a proporção de peças fora de especificação em um lote é de 20%. Tomada uma amostra de tamanho 50, supondo que a amostra é suficientemente grande para usar o Teorema Central do Limite, qual é a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas entre
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a probabilidade de, em uma amostra de 50 peças, entre 10% e 30% serem defeituosas. O assunto aqui é Probabilidade e Distribuições de Proporções, e vamos usar o Teorema Central do Limite para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Sabemos que a proporção de peças defeituosas na população é de 20%, ou seja,
. Queremos saber a probabilidade de, numa amostra de tamanho
, a proporção de defeituosas (
) ficar entre 10% e 30%, ou seja, entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema Central do Limite, que nos diz que a distribuição das médias amostrais (ou proporções, no nosso caso) tende a ser normal, desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande. Aqui,
é considerado grande o suficiente.
Passo 4
A média da distribuição amostral de
é igual à proporção da população:
Passo 5
O desvio padrão da distribuição amostral de
é dado por:
Passo 6
Queremos encontrar
. Para isso, vamos calcular os escores z correspondentes a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z.
Passo 8
A probabilidade de
estar entre 0,10 e 0,30 é a diferença entre essas duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que, numa amostra de 50 peças, entre 10% e 30% sejam defeituosas é de aproximadamente 92,3%.