Suponha que a proporção de peças fora de especificação em um lote é de 20%. Tomada uma amostra de tamanho 50, supondo que a amostra é suficientemente grande para usar o Teorema Central do Limite, qual é a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas entre e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a probabilidade de, em uma amostra de 50 peças, entre 10% e 30% serem defeituosas. O assunto aqui é Probabilidade e Distribuições de Proporções, e vamos usar o Teorema Central do Limite para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Sabemos que a proporção de peças defeituosas na população é de 20%, ou seja, . Queremos saber a probabilidade de, numa amostra de tamanho , a proporção de defeituosas ( ) ficar entre 10% e 30%, ou seja, entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema Central do Limite, que nos diz que a distribuição das médias amostrais (ou proporções, no nosso caso) tende a ser normal, desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande. Aqui, é considerado grande o suficiente.

Passo 4

A média da distribuição amostral de é igual à proporção da população:

Passo 5

O desvio padrão da distribuição amostral de é dado por:

Passo 6

Queremos encontrar . Para isso, vamos calcular os escores z correspondentes a e :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z.

Passo 8

A probabilidade de estar entre 0,10 e 0,30 é a diferença entre essas duas probabilidades:

Resposta

A probabilidade de que, numa amostra de 50 peças, entre 10% e 30% sejam defeituosas é de aproximadamente 92,3%.

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