Suponha que a proporção de peças fora de especificação em um lote seja de 20 %. Tomada uma amostra de tamanho 50 , supondo que a amostra é suficientemente grande para usar o Teorema Central do Limite, qual é a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas entre 10% e 30%?

Passo 1

Vamos resolver uma questão de estatística que envolve proporções. A situação é a seguinte: em um lote, 20% das peças estão fora de especificação. Queremos saber qual a probabilidade de, ao tirar uma amostra de 50 peças, a proporção de peças defeituosas ficar entre 10% e 30%. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite e a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a proporção média de peças defeituosas no lote, que é de 20% ou . Também temos o tamanho da amostra, .

Passo 3

O Teorema Central do Limite nos diz que, para amostras grandes, a distribuição da proporção amostral ( ) será aproximadamente normal. Isso facilita o cálculo das probabilidades.

Passo 4

Vamos calcular o desvio padrão da proporção amostral. A fórmula para o desvio padrão (ou erro padrão) é:
sigmap = raizp(1 - p)n
Substituindo os valores:
sigmap = raiz0,20 times 0,8050 = raiz0,1650 = raiz0,0032 approx 0,0566

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de z = p - psigmap estar entre 10% ( z1 = 0,10 - 0,200,0566 approx -1,7678 ) e 30% ( z2 = 0,30 - 0,200,0566 approx 1,7678 ). Para isso, calculamos os escores z para esses valores:
Para :
Para :

Passo 6

Com os escores z calculados, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes. A probabilidade de z estar entre -1,7678 e 1,7678 é aproximadamente 0,76 ou 76%.

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 50 peças, a proporção de defeituosas esteja entre 10% e 30% é de aproximadamente 76%.

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