Suponha que a proporção de peças fora de especificação em um lote seja de
. Tomada uma amostra de tamanho 50 , supondo que a amostra é suficientemente grande para usar o Teorema Central do Limite, qual é a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas entre 10% e 30%?
Passo 1
Vamos resolver uma questão de estatística que envolve proporções. A situação é a seguinte: em um lote, 20% das peças estão fora de especificação. Queremos saber qual a probabilidade de, ao tirar uma amostra de 50 peças, a proporção de peças defeituosas ficar entre 10% e 30%. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite e a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a proporção média de peças defeituosas no lote, que é de 20% ou
. Também temos o tamanho da amostra,
.
Passo 3
O Teorema Central do Limite nos diz que, para amostras grandes, a distribuição da proporção amostral (
) será aproximadamente normal. Isso facilita o cálculo das probabilidades.
Passo 4
Vamos calcular o desvio padrão da proporção amostral. A fórmula para o desvio padrão (ou erro padrão) é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre 10% (
) e 30% (
). Para isso, calculamos os escores z para esses valores:
Para
:
Para
:
Passo 6
Com os escores z calculados, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes. A probabilidade de z estar entre -1,7678 e 1,7678 é aproximadamente 0,76 ou 76%.
Resposta
A probabilidade de que, em uma amostra de 50 peças, a proporção de defeituosas esteja entre 10% e 30% é de aproximadamente 76%.