Suponha que um resistor com resistência esteja sobre cada aresta de um cubo (um total de 12 resistores) e que os resistores sejam conectados nos vértices do cubo. Uma tensão é aplicada entre os pontos e , sendo que é o ponto de maior potencial. Usando simetria, mostre que em seis dos resistores passa corrente do mesmo valor e que nos outros seis resistores passa corrente de valor .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um cubo onde cada aresta possui um resistor de resistência , totalizando 12 resistores. Esses resistores estão conectados nos vértices do cubo. Uma tensão é aplicada entre os pontos e , sendo que é o ponto de maior potencial. Utilizando a simetria do sistema, precisamos mostrar que em seis dos resistores passa uma corrente de valor e que nos outros seis resistores passa uma corrente de valor .
Para resolver, vamos precisar entender conceitos de circuitos elétricos como Lei de Ohm, Lei de Kirchhoff e o uso da simetria em circuitos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cubo com os resistores nas arestas. Cada vértice do cubo está conectado a três arestas, ou seja, a três resistores.
Como a tensão é aplicada entre os pontos e , vamos considerar que está em um vértice e no vértice oposto (diagonal do cubo). Devido à simetria do cubo, podemos dividir os resistores em dois grupos: aqueles que estão diretamente ligados a e , e os que estão nos lados intermediários.

Passo 3

Vamos aplicar a simetria para simplificar a análise. Devido à simetria do cubo, alguns caminhos para a corrente são idênticos, o que significa que a corrente que passa por esses caminhos será a mesma.
Imagine que a corrente total que sai de é . Devido à simetria, essa corrente se divide igualmente pelos três resistores conectados a , cada um levando uma corrente de .

Passo 4

Agora, vamos considerar os resistores que ligam os vértices intermediários. Cada um desses resistores estará conectado a dois caminhos simétricos, o que faz com que a corrente se divida igualmente entre eles.
Portanto, a corrente que passa por cada um desses resistores intermediários será metade da corrente que passa pelos resistores ligados diretamente a ou .

Passo 5

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes, sabemos que a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem desse nó. Usando essa lei e a simetria do cubo, podemos determinar que seis resistores carregam uma corrente de e os outros seis carregam uma corrente de .

Resposta

Utilizando a simetria do cubo, demonstramos que seis resistores carregam uma corrente de valor e os outros seis resistores carregam uma corrente de valor .

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