Uma célula solar produz uma diferença de potencial V1 quando um resistor de resistência R1 é ligado a seus terminais, e uma diferença de potencial V2 quando o resistor possui resistência R2. Mostre que a força eletromotriz da célula solar é varepsilon=V1 V2(R2-R1) /(R2 V1-R1 V2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma célula solar que cria uma diferença de potencial quando conectamos um resistor de resistência , e uma diferença de potencial quando usamos um resistor de resistência . Nosso objetivo é descobrir qual é a força eletromotriz (EMF) dessa célula solar, representada por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos elétricos, especificamente sobre como resistências e fontes de EMF se comportam quando conectadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma célula solar pode ser modelada como uma fonte de tensão (a força eletromotriz) em série com uma resistência interna . Quando conectamos essa célula a um resistor externo , a diferença de potencial medida nos terminais da célula depende tanto da EMF quanto da resistência interna e da resistência externa.

Passo 3

A relação entre a diferença de potencial V = varepsilon ( RR + r ) , a resistência externa I = varepsilonR + r , a resistência interna e a EMF é dada pela fórmula:
Essa equação vem da Lei de Ohm e do fato de que as resistências e estão em série, então a corrente no circuito é:
e a diferença de potencial nos terminais é .

Passo 4

Temos duas situações diferentes:
  1. Quando V1 = varepsilon ( R1R1 + r ) , a diferença de potencial é V2 = varepsilon ( R2R2 + r ) :
  1. Quando , a diferença de potencial é :

Passo 5

Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar varepsilon = V1 ( R1 + rR1 ) (1) . Primeiro, isolamos varepsilon = V2 ( R2 + rR2 ) (2) em ambas as equações:

Passo 6

Como V1 ( R1 + rR1 ) = V2 ( R2 + rR2 ) é a mesma em ambas as situações, igualamos as duas expressões:
V1 ( 1 + rR1 ) = V2 ( 1 + rR2 )
Vamos simplificar essa equação para encontrar V1 + V1 ( rR1 ) = V2 + V2 ( rR2 ) :

Passo 7

Agora, vamos reunir os termos que contêm V1 ( rR1 ) - V2 ( rR2 ) = V2 - V1 de um lado e os demais termos do outro:
r ( V1R1 - V2R2 ) = V2 - V1
Fatorando :

Passo 8

Isolamos r = V2 - V1V1R1 - V2R2 :
r = V2 - V1V1 R2 - V2 R1R1 R2 = (V2 - V1) R1 R2V1 R2 - V2 R1
Simplificando a expressão:

Passo 9

Agora que temos varepsilon = V1 ( R1 + rR1 ) = V1 ( 1 + rR1 ) em termos de varepsilon = V1 ( 1 + (V2 - V1) R1 R2R1 (V1 R2 - V2 R1) ) , varepsilon = V1 + V1 ( (V2 - V1) R2V1 R2 - V2 R1 ) , varepsilon = V1 + V1 V2 R2 - V1^2 R2V1 R2 - V2 R1 e , podemos substituir de volta na equação para que obtivemos no Passo 2. Vamos usar a equação (1):
Substituindo :
Simplificando:

Passo 10

Para combinar os termos, vamos escrever varepsilon = V1 (V1 R2 - V2 R1) + V1 V2 R2 - V1^2 R2V1 R2 - V2 R1 como :
Simplificando o numerador:

Resposta

A força eletromotriz da célula solar é:

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