Suponha que
representa a densidade linear num ponto
de um arame fino com o formato de uma curva plana C. Os momentos de inércia em relação aos eixos
e y são definidos por
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo
. Se a função densidade linear for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um arame finzinho que forma um semicírculo com a equação
e está na parte de cima, ou seja,
. A densidade linear desse arame é dada por
. Nosso objetivo é encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos
e
, que são
e
respectivamente. Para isso, vamos precisar entender o que são momentos de inércia, parametrizar a curva do semicírculo, e calcular as integrais definidas para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo. No nosso caso, como temos um arame com densidade variável, precisamos integrar ao longo do comprimento do arame para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos parametrizar o semicírculo. Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas polares. Podemos representar qualquer ponto no semicírculo como
e
, onde o ângulo
varia de
a
(já que é um semicírculo superior).
Passo 4
Agora, precisamos expressar o elemento de comprimento
em termos de
. Em coordenadas polares, temos que
. Como o raio
(pela equação
), então
.
Passo 5
Substituindo as parametrizações na função densidade
, temos:
Passo 6
Agora, vamos expressar
e
em termos de
:
Passo 7
Vamos simplificar essas integrais. Vamos calcular
primeiro:
E para
:
Passo 8
Vamos resolver
:
Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Agora, vamos resolver
:
Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
. Podemos usar substituição
, então
, e a integral se torna:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
Os momentos de inércia são:
Exercícios relacionados
Considere a seguinte resolução para o cálculo da integral
:
Resolução. Como , usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos:
Resolução. Como
Assinale a alternativa verdadeira.
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Sejam a e b constantes reais positivas, e considere uma espira de uma mola em formato de hélice cilíndrica com equação
sen
, cuja densidade é dada por
. Mostre que
, em que
é a massa da espira, e calcule o seu valor.
Calcule o peso do fio
, em um planeta cuja gravidade é
, supondo que sua densidade é
.