Sejam a e b constantes reais positivas, e considere uma espira de uma mola em formato de hélice cilíndrica com equação r(t) = (a cos(t), a) sen t, b t), 0 <= t <= 2 pi, cuja densidade é dada por rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Mostre que Iz = m a^2, em que m é a massa da espira, e calcule o seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma espira em forma de hélice cilíndrica descrita pela função vetorial para . A densidade da espira é dada por . Nosso objetivo é mostrar que o momento de inércia em relação ao eixo , , é igual a , onde é a massa da espira, e também calcular esse valor. Para resolver isso, vamos precisar entender cálculo de integrais em curvas, momento de inércia e como aplicar essas fórmulas na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa da espira. A massa é obtida integrando a densidade ao longo da curva da hélice. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva, que pode ser encontrado usando a derivada da função vetorial .

Passo 3

Vamos encontrar . Primeiro, derivamos em relação a :
O comprimento de nos dá :
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos na expressão da massa:
Sabemos que , então:
Agora, a massa fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Então, a massa é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo . A fórmula para é:
Substituindo e :
Então, simplifica para:

Resposta

Portanto, demonstramos que o momento de inércia em relação ao eixo é igual a . Calculando com os valores dados, encontramos que:

Exercícios relacionados

Suponha que rho(x, y) representa a densidade linear num ponto (x, y) de um arame fino com o formato de uma curva plana C. Os momentos de inércia em relação aos eixos x e y são definidos por
Ix=integralC y^2 rho(x, y) d s Iy=integralC x^2 rho(x, y) d s
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo x^2+y^2= 1, y >= 0. Se a função densidade linear for rho(x, y)=k(1-y).
Considere a seguinte resolução para o cálculo da integral integral0^pi sec ^2 x d x :
Resolução. Como (tg x)^prime=sec ^2 x, usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos:
integral0^pi sec ^2 x d x=tg x|0 ^pi=tg(pi)-tg(0)=0-0=0
Assinale a alternativa verdadeira.
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.
Calcule o peso do fio (t, t^2, t^3), 0 < t < 1, em um planeta cuja gravidade é g = 6 m/s^2, supondo que sua densidade é rho(x, y, z) = 2*x + 9*z.
Prove para vetores de R^n que se u * w = v * w para todo w, então, u = v.