Sejam a e b constantes reais positivas, e considere uma espira de uma mola em formato de hélice cilíndrica com equação sen , cuja densidade é dada por . Mostre que , em que é a massa da espira, e calcule o seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma espira em forma de hélice cilíndrica descrita pela função vetorial para . A densidade da espira é dada por . Nosso objetivo é mostrar que o momento de inércia em relação ao eixo , , é igual a , onde é a massa da espira, e também calcular esse valor. Para resolver isso, vamos precisar entender cálculo de integrais em curvas, momento de inércia e como aplicar essas fórmulas na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa da espira. A massa é obtida integrando a densidade ao longo da curva da hélice. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva, que pode ser encontrado usando a derivada da função vetorial .
Passo 3
Vamos encontrar . Primeiro, derivamos em relação a :
O comprimento de nos dá :
Então, .
Passo 4
Agora, substituímos na expressão da massa:
Sabemos que , então:
Agora, a massa fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Então, a massa é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo . A fórmula para é:
Substituindo e :
Então, simplifica para:
Resposta
Portanto, demonstramos que o momento de inércia em relação ao eixo é igual a . Calculando com os valores dados, encontramos que: