Considere a seguinte resolução para o cálculo da integral
:
Resolução. Como
, usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos:
Assinale a alternativa verdadeira.
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.
Resolução. Como
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! A gente precisa calcular a integral
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral definida e como usar derivadas para calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o inverso do cosseno, ou seja,
. Então,
. A integral
é uma das integrais básicas que a gente aprende.
Passo 3
Sabemos que a derivada de
é
, ou seja,
. Isso significa que
é a primitiva de
.
Passo 4
Agora, usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se
, então
, podemos calcular a integral:
Passo 5
Sabemos que
e
, então:
Portanto, segundo essa resolução, a integral seria igual a 0.
Passo 6
Mas, pera aí! Vamos verificar se essa integral está correta. A função
tem um ponto problemático em
, porque
, o que faz com que
seja indefinida nesse ponto. Ou seja, a integral
é imprópria devido a essa descontinuidade.
Passo 7
Além disso, ao analisar o comportamento perto de
, percebemos que
tende ao infinito positivo quando nos aproximamos de
pela direita e ao infinito negativo pela esquerda. Isso indica que a integral não converge para um valor finito; ou seja, ela diverge.
Resposta
A alternativa correta é a (d): A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
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, em que
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