Suponha a situação hipotética de que você seja encontrado morto(a) às quatro horas da manhã numa sala do CAP cuja temperatura é de
. A temperatura do corpo é medida e está a
. O coeficiente de transferência de calor é estimado em
. Modele o seu corpo como um eilindro de 30 em de diametro, e considere a sua altura como o comprimento do cilindro. Estime qual o horário ocorreu a sua morte, Observaçōes:
a) Considere você saudável e que sua temperatura corporal antes de morrer era de
.
b) O corpo humano é composto de 72 por cento de água em massa, e assim pode assumir o corpo com as propriedades da água na temperatura média a de
, onde
, e
.
c) Utilize a análise de sistemas aglomerados para obter uma estimativa do momento da sua morte e compare com a resposta através do cálculo da análise de sistema espacial. Calcule o erro entre elas e justifique sua resposta mostrando qual análise é mais realista.
a) Considere você saudável e que sua temperatura corporal antes de morrer era de
b) O corpo humano é composto de 72 por cento de água em massa, e assim pode assumir o corpo com as propriedades da água na temperatura média a de
c) Utilize a análise de sistemas aglomerados para obter uma estimativa do momento da sua morte e compare com a resposta através do cálculo da análise de sistema espacial. Calcule o erro entre elas e justifique sua resposta mostrando qual análise é mais realista.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa estimar a hora em que a pessoa morreu, usando informações sobre a temperatura do ambiente, a temperatura do corpo após a morte e algumas propriedades físicas do corpo humano. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a Lei de Resfriamento de Newton. Vamos precisar modelar o corpo como um cilindro, identificar as propriedades térmicas envolvidas e aplicar as fórmulas apropriadas para calcular o tempo desde a morte até a medição da temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula é:
Onde:
- $ T $ é a temperatura do objeto (corpo humano).
- $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente.
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor.
- $ A $ é a área de superfície do objeto.
- $ t $ é o tempo.
Passo 3
Vamos calcular a área de superfície do corpo modelado como um cilindro. A fórmula para a área de um cilindro é:
Onde:
- $ r $ é o raio do cilindro.
- $ h $ é a altura do cilindro.
Dado que o diâmetro é 30 cm, o raio $ r $ é 15 cm ou 0,15 m. Vamos assumir que a altura $ h $ do cilindro representa a altura média de uma pessoa, vamos supor 1,7 m (170 cm).
Passo 4
Calculando a área de superfície:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton para resolver para o tempo $ t $. A equação diferencial se integra para:
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial do corpo após a morte (37°C) e $ T $ é a temperatura medida (25°C).
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando o logaritmo:
Então:
Convertendo para minutos:
Passo 7
Portanto, o tempo decorrido desde a morte até a medição da temperatura é de aproximadamente 5 minutos. Considerando que a temperatura foi medida às 4 horas da manhã, isso sugere que a morte ocorreu por volta das 3 horas e 55 minutos da manhã.
Resposta
A estimativa do horário da morte é por volta das 3 horas e 55 minutos da manhã.