Suponha a situação que se refere a eliminação de alguma substância no sangue. Em diversos casos, a quantidade
dessa certa substância na corrente sanguínea, registrada sob a relação ao excesso do que é natural encontrar, diminuirá a uma taxa duplamente proporcional a esse mesmo excesso no instante em que é registrado. A situação pode ser modelada da seguinte forma:
Em que
é a constante de proporção.
Sendo assim, apresente a modelagem da função
e sua representação gráfica.
Sendo assim, apresente a modelagem da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como uma certa substância no sangue diminui com o tempo. A quantidade dessa substância é representada por
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente uma equação de primeira ordem. Para resolver isso, precisamos entender como resolver uma equação diferencial simples e, depois, representar graficamente a solução.
Passo 2
Primeiro, temos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O que precisamos fazer é separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados. Vamos começar dividindo ambos os lados por
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da esquerda simplifica para o logaritmo natural de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 3
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos a exponenciação dos dois lados para eliminar o logaritmo:
Isso simplifica para:
Como
representa uma quantidade, podemos remover o valor absoluto e absorver
em uma nova constante
(que representa a quantidade inicial da substância no tempo
):
Passo 4
Agora que temos a função
, vamos pensar na representação gráfica dela. Essa é uma função exponencial de decaimento. No gráfico:
- Quando
, , que é o ponto inicial no eixo . - Conforme
aumenta, diminui de forma exponencial, aproximando-se de zero, mas nunca realmente chegando lá. - A curva é sempre decrescente e nunca se torna negativa, pois estamos trabalhando com quantidades.
Resposta
A modelagem da função que descreve a quantidade da substância no sangue ao longo do tempo é:
Graficamente, essa função apresenta um decaimento exponencial, começando no valor inicial
no tempo
e diminuindo de forma contínua, aproximando-se cada vez mais de zero conforme o tempo aumenta.
Exercícios relacionados
Suponha que em um determinado tanque com água, no tempo
, encontra-se uma quantidade
de certa substância dissolvida em 100 galões. Suponha, ainda, que estão entrando no tanque
galões por minuto com
dessa substância por galão e que a taxa de escoamento é a mesma da entrada. Encontre a lei diferencial que governa esse acontecimento, sob a hipótese de que a substância não irá se degenerar por algum motivo dentro do tanque, sendo que a única forma de entrada e saída pelo fluxo que estamos considerando, e denotando por
a quantidade dessa substância no tanque, a taxa de variação com relação ao tempo.
(f)
Seja
o número de maneiras de se cobrir uma caixa
com retângulos
e
. Obtenha uma relação de recorrência para
.
Seja
o número de permutações de
. Sem usar que
, deduza a equação de recorrência