Suponha a situação que se refere a eliminação de alguma substância no sangue. Em diversos casos, a quantidade S(t) dessa certa substância na corrente sanguínea, registrada sob a relação ao excesso do que é natural encontrar, diminuirá a uma taxa duplamente proporcional a esse mesmo excesso no instante em que é registrado. A situação pode ser modelada da seguinte forma:
dS(t)/dt = -2 * k * S
Em que k > 0 é a constante de proporção.
Sendo assim, apresente a modelagem da função S(t) e sua representação gráfica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como uma certa substância no sangue diminui com o tempo. A quantidade dessa substância é representada por . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente uma equação de primeira ordem. Para resolver isso, precisamos entender como resolver uma equação diferencial simples e, depois, representar graficamente a solução.

Passo 2

Primeiro, temos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O que precisamos fazer é separar as variáveis e para integrar ambos os lados. Vamos começar dividindo ambos os lados por :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral da esquerda simplifica para o logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos resolver para . Primeiro, aplicamos a exponenciação dos dois lados para eliminar o logaritmo:
Isso simplifica para:
Como representa uma quantidade, podemos remover o valor absoluto e absorver em uma nova constante (que representa a quantidade inicial da substância no tempo ):

Passo 4

Agora que temos a função , vamos pensar na representação gráfica dela. Essa é uma função exponencial de decaimento. No gráfico:
  • Quando , , que é o ponto inicial no eixo .
  • Conforme aumenta, diminui de forma exponencial, aproximando-se de zero, mas nunca realmente chegando lá.
  • A curva é sempre decrescente e nunca se torna negativa, pois estamos trabalhando com quantidades.

Resposta

A modelagem da função que descreve a quantidade da substância no sangue ao longo do tempo é:
Graficamente, essa função apresenta um decaimento exponencial, começando no valor inicial no tempo e diminuindo de forma contínua, aproximando-se cada vez mais de zero conforme o tempo aumenta.

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Suponha que em um determinado tanque com água, no tempo t = 0, encontra-se uma quantidade S0 de certa substância dissolvida em 100 galões. Suponha, ainda, que estão entrando no tanque g galões por minuto com 0,2 l b dessa substância por galão e que a taxa de escoamento é a mesma da entrada. Encontre a lei diferencial que governa esse acontecimento, sob a hipótese de que a substância não irá se degenerar por algum motivo dentro do tanque, sendo que a única forma de entrada e saída pelo fluxo que estamos considerando, e denotando por S(t) a quantidade dessa substância no tanque, a taxa de variação com relação ao tempo.
(f) y'' + 2y' + 2y = 0, y(pi / 4) = 2, y'(pi / 4) = -2
Seja a_n o número de maneiras de se cobrir uma caixa 1 * n com retângulos 1 x 1,1 x 2 e 1 x 3. Obtenha uma relação de recorrência para a_n.
Seja Pn o número de permutações de {1, ..., n}. Sem usar que Pn = n!, deduza a equação de recorrência
P_n = n * P_{n-1}, ∀ n ≥ 2; P_{1} = 1