Suponha que em um determinado tanque com água, no tempo
, encontra-se uma quantidade
de certa substância dissolvida em 100 galões. Suponha, ainda, que estão entrando no tanque
galões por minuto com
dessa substância por galão e que a taxa de escoamento é a mesma da entrada. Encontre a lei diferencial que governa esse acontecimento, sob a hipótese de que a substância não irá se degenerar por algum motivo dentro do tanque, sendo que a única forma de entrada e saída pelo fluxo que estamos considerando, e denotando por
a quantidade dessa substância no tanque, a taxa de variação com relação ao tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque com água onde, no tempo inicial
, já tem uma quantidade
de uma substância dissolvida em 100 galões. Queremos encontrar uma equação diferencial que descreva como a quantidade dessa substância
muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo de entrada e saída e a ideia de taxa de variação da substância no tanque.
Passo 2
Primeiro, precisamos pensar na lei de conservação da massa. A variação da quantidade da substância no tanque ao longo do tempo (
) é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída dessa substância.
Passo 3
Vamos calcular a taxa de entrada. Sabemos que entram
galões por minuto, e cada galão traz
lb dessa substância. Então, a taxa de entrada de substância é:
Passo 4
Agora, a taxa de saída. A saída também é de
galões por minuto. A concentração da substância no tanque no momento
é
lb por galão, já que há 100 galões no tanque. Portanto, a taxa de saída ��:
Passo 5
Agora, juntando tudo na lei de conservação da massa:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação diferencial que governa o acontecimento é:
Exercícios relacionados
(f)
(d)
Suponha a situação que se refere a eliminação de alguma substância no sangue. Em diversos casos, a quantidade
dessa certa substância na corrente sanguínea, registrada sob a relação ao excesso do que é natural encontrar, diminuirá a uma taxa duplamente proporcional a esse mesmo excesso no instante em que é registrado. A situação pode ser modelada da seguinte forma:
Em que
é a constante de proporção.
Sendo assim, apresente a modelagem da função e sua representação gráfica.
Sendo assim, apresente a modelagem da função
Seja
o número de maneiras de se cobrir uma caixa
com retângulos
e
. Obtenha uma relação de recorrência para
.