Suponha que em um determinado tanque com água, no tempo t = 0, encontra-se uma quantidade S0 de certa substância dissolvida em 100 galões. Suponha, ainda, que estão entrando no tanque g galões por minuto com 0,2 l b dessa substância por galão e que a taxa de escoamento é a mesma da entrada. Encontre a lei diferencial que governa esse acontecimento, sob a hipótese de que a substância não irá se degenerar por algum motivo dentro do tanque, sendo que a única forma de entrada e saída pelo fluxo que estamos considerando, e denotando por S(t) a quantidade dessa substância no tanque, a taxa de variação com relação ao tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque com água onde, no tempo inicial , já tem uma quantidade de uma substância dissolvida em 100 galões. Queremos encontrar uma equação diferencial que descreva como a quantidade dessa substância muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo de entrada e saída e a ideia de taxa de variação da substância no tanque.

Passo 2

Primeiro, precisamos pensar na lei de conservação da massa. A variação da quantidade da substância no tanque ao longo do tempo ( ) é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída dessa substância.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de entrada. Sabemos que entram galões por minuto, e cada galão traz lb dessa substância. Então, a taxa de entrada de substância é:

Passo 4

Agora, a taxa de saída. A saída também é de galões por minuto. A concentração da substância no tanque no momento é lb por galão, já que há 100 galões no tanque. Portanto, a taxa de saída ��:
í

Passo 5

Agora, juntando tudo na lei de conservação da massa:
í
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação diferencial que governa o acontecimento é:

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