(f) y'' + 2y' + 2y = 0, y(pi / 4) = 2, y'(pi / 4) = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O enunciado é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por , por , e por 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas.

Passo 4

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e .
Calculando:
Então, a solução geral fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Sabemos que . Então:

Passo 6

Agora, vamos derivar para usar a segunda condição inicial:
Aplicando :
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos , vamos substituir na equação (1) para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições dadas é:
Podemos simplificar ainda mais:

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