(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O enunciado é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
,
por
, e
por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas.
Passo 4
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
.
Calculando:
Então, a solução geral fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Sabemos que
. Então:
Passo 6
Agora, vamos derivar
para usar a segunda condição inicial:
Aplicando
:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos
, vamos substituir na equação (1) para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições dadas é:
Podemos simplificar ainda mais: