Suponha que a variável aleatória X tenha função de probabilidade dada por
pX(j)=12^j, j=1,2,3, ldots
Calcule
(a) P(X ser par )
(b) P(X >= 3)
© P(X ser múltiplo de 3 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de probabilidade definida por $ p_X(j) = \frac{1}{2^{j}} $ para $ j = 1, 2, 3, ··· $. O conteúdo aqui é de probabilidade discreta, onde vamos calcular algumas probabilidades específicas: a probabilidade de $ X $ ser par, de $ X $ ser maior ou igual a 3, e de $ X $ ser múltiplo de 3. Para isso, vamos usar conceitos de somatório de séries geométricas e propriedades básicas de probabilidade.

Passo 2

Parte (a): Calcular $ \mathbb{P}(X ser par) $
Primeiro, vamos entender o que significa $ X $ ser par. Isso quer dizer que $ X $ pode ser 2, 4, 6, 8, e assim por diante. A probabilidade de $ X $ ser par é a soma das probabilidades de $ X = 2 $, $ X = 4 $, $ X = 6 $, etc.
Então, temos:
P(X ser par)
Esse é um somatório de uma série geométrica onde a razão é $ \frac{1}{4} $. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
X
Aplicando isso:
X

Passo 3

Parte (b): Calcular $ \mathbb{P}(X \geq 3) $
Aqui queremos a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a 3, ou seja, $ X = 3, 4, 5, ··· $. Para calcular isso, podemos somar as probabilidades de todos esses valores ou usar a complementaridade:
P(X >= 3)
Sabemos que $ X < 3 $ significa $ X = 1 $ ou $ X = 2 $. Então:
X
Portanto:
X = 3, 4, 5, ldots

Passo 4

Parte ©: Calcular $ \mathbb{P}(X ser múltiplo de 3) $
Queremos a probabilidade de $ X $ ser múltiplo de 3, ou seja, $ X = 3, 6, 9, ··· $. Vamos somar as probabilidades desses valores:
P(X ser múú
Essa é outra série geométrica com razão $ \frac{1}{8} $. Aplicando a fórmula da soma:
X ú

Resposta

(a) $ \mathbb{P}(X ser par) = \frac{1}{3} $
(b) $ \mathbb{P}(X \geq 3) = \frac{1}{4} $
© $ \mathbb{P}(X ser múltiplo de 3) = \frac{1}{7} $

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