Suponha que a variável aleatória
tenha função de probabilidade dada por
Calcule
(a)
ser par
(b)
©
ser múltiplo de 3
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de probabilidade definida por $ p_X(j) = \frac{1}{2^{j}} $ para $ j = 1, 2, 3, ··· $. O conteúdo aqui é de probabilidade discreta, onde vamos calcular algumas probabilidades específicas: a probabilidade de $ X $ ser par, de $ X $ ser maior ou igual a 3, e de $ X $ ser múltiplo de 3. Para isso, vamos usar conceitos de somatório de séries geométricas e propriedades básicas de probabilidade.
Passo 2
Parte (a): Calcular $ \mathbb{P}(X ser par) $
Primeiro, vamos entender o que significa $ X $ ser par. Isso quer dizer que $ X $ pode ser 2, 4, 6, 8, e assim por diante. A probabilidade de $ X $ ser par é a soma das probabilidades de $ X = 2 $, $ X = 4 $, $ X = 6 $, etc.
Então, temos:
Esse é um somatório de uma série geométrica onde a razão é $ \frac{1}{4} $. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
Aplicando isso:
Passo 3
Parte (b): Calcular $ \mathbb{P}(X \geq 3) $
Aqui queremos a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a 3, ou seja, $ X = 3, 4, 5, ··· $. Para calcular isso, podemos somar as probabilidades de todos esses valores ou usar a complementaridade:
Sabemos que $ X < 3 $ significa $ X = 1 $ ou $ X = 2 $. Então:
Portanto:
Passo 4
Parte ©: Calcular $ \mathbb{P}(X ser múltiplo de 3) $
Queremos a probabilidade de $ X $ ser múltiplo de 3, ou seja, $ X = 3, 6, 9, ··· $. Vamos somar as probabilidades desses valores:
Essa é outra série geométrica com razão $ \frac{1}{8} $. Aplicando a fórmula da soma:
Resposta
(a) $ \mathbb{P}(X ser par) = \frac{1}{3} $
(b) $ \mathbb{P}(X \geq 3) = \frac{1}{4} $
© $ \mathbb{P}(X ser múltiplo de 3) = \frac{1}{7} $