Pesquisas indicaram que
dos eleitores de uma cidade são alfabetizados. Entre 16 eleitores dessa cidade, determine a probabilidade de:
a) no máximo 1 ser analfabeto;
a) no máximo 1 ser analfabeto;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que 75% dos eleitores de uma cidade sabem ler e escrever (são alfabetizados). Temos um grupo de 16 eleitores e queremos descobrir a probabilidade de, no máximo, 1 deles ser analfabeto.
Para resolver isso, vamos usar probabilidade binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 16 eleitores), cada uma com duas possibilidades: sucesso ou fracasso (aqui, “sucesso” pode ser considerar alguém como analfabeto). Vamos precisar entender como calcular probabilidades binomiais e usar combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da nossa situação binomial:
- n: número de tentativas (eleitores) = 16
- p: probabilidade de “sucesso” (ser analfabeto) = 25% ou 0,25
- q: probabilidade de “fracasso” (ser alfabetizado) = 75% ou 0,75
Queremos descobrir a probabilidade de que X ≤ 1, ou seja, que no máximo 1 eleitor seja analfabeto.
Passo 3
A probabilidade binomial é calculada pela fórmula:
Onde:
- $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
Vamos calcular para k = 0 e k = 1 e depois somar essas probabilidades.
Passo 4
Calculando para k = 0:
Sabemos que $ C(16, 0) = 1 $ e qualquer número elevado a 0 é 1. Então:
Calculando $ (0,75)^{16} $:
Passo 5
Calculando para k = 1:
Aqui, $ C(16, 1) = 16 $, então:
Calculando $ (0,75)^{15} $:
Então:
Passo 6
Agora, somamos as probabilidades de k = 0 e k = 1 para encontrar a probabilidade de, no máximo, 1 eleitor ser analfabeto:
Resposta
A probabilidade de, no máximo, 1 eleitor ser analfabeto é aproximadamente 6,33%.