Pesquisas indicaram que 75 % dos eleitores de uma cidade são alfabetizados. Entre 16 eleitores dessa cidade, determine a probabilidade de:
a) no máximo 1 ser analfabeto;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que 75% dos eleitores de uma cidade sabem ler e escrever (são alfabetizados). Temos um grupo de 16 eleitores e queremos descobrir a probabilidade de, no máximo, 1 deles ser analfabeto.
Para resolver isso, vamos usar probabilidade binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 16 eleitores), cada uma com duas possibilidades: sucesso ou fracasso (aqui, “sucesso” pode ser considerar alguém como analfabeto). Vamos precisar entender como calcular probabilidades binomiais e usar combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da nossa situação binomial:
  • n: número de tentativas (eleitores) = 16
  • p: probabilidade de “sucesso” (ser analfabeto) = 25% ou 0,25
  • q: probabilidade de “fracasso” (ser alfabetizado) = 75% ou 0,75
Queremos descobrir a probabilidade de que X ≤ 1, ou seja, que no máximo 1 eleitor seja analfabeto.

Passo 3

A probabilidade binomial é calculada pela fórmula:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times q^n-k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.
Vamos calcular para k = 0 e k = 1 e depois somar essas probabilidades.

Passo 4

Calculando para k = 0:
P(X = 0) = C(16, 0) times (0,25)^0 times (0,75)^16
Sabemos que $ C(16, 0) = 1 $ e qualquer número elevado a 0 é 1. Então:
C(16, 0) = 1
Calculando $ (0,75)^{16} $:
P(X = 0) = 1 times 1 times (0,75)^16 approx (0,75)^16

Passo 5

Calculando para k = 1:
P(X = 1) = C(16, 1) times (0,25)^1 times (0,75)^15
Aqui, $ C(16, 1) = 16 $, então:
C(16, 1) = 16
Calculando $ (0,75)^{15} $:
P(X = 1) = 16 times 0,25 times (0,75)^15
Então:
(0,75)^15

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades de k = 0 e k = 1 para encontrar a probabilidade de, no máximo, 1 eleitor ser analfabeto:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0,0100 + 0,0533 = 0,0633

Resposta

A probabilidade de, no máximo, 1 eleitor ser analfabeto é aproximadamente 6,33%.

Exercícios relacionados