Seja X a variável aleatória número de flores por planta envasada, cuja distribuição de probabilidades é dada pela tabela 1. Calcule
(a) A moda do número de flores por planta, o número médio E(X), E(X^2), E(X+1), E(2 X).
(b) Calcule a variância e o desvio-padrão, isto é, Var(X) e raizVar(X).
x 0 1 2 3 4
pX(x) 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
Tabela 1: Número de flores por planta envasada

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória X, que representa o número de flores por planta envasada. A gente tem uma tabela que mostra as probabilidades de cada número de flores (de 0 a 4). Hoje, vamos calcular várias coisas sobre essa variável: a moda, a média, a média do quadrado, e umas expectativas de funções da X. Além disso, também vamos ver a variância e o desvio-padrão de X. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística básica como média, variância e moda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a moda da variável X. A moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição de probabilidade. Olhando a tabela:
x 0 1 2 3 4
pX(x) 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
Vemos que a probabilidade mais alta é 0,4, que corresponde a x = 1. Então, a moda é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor médio ou a esperança matemática E(X). A fórmula para isso é:
E(X) = sumx x cdot pX(x)
Vamos multiplicar cada valor de x pela sua probabilidade e somar tudo:
E(X) = (0 cdot 0,2) + (1 cdot 0,4) + (2 cdot 0,2) + (3 cdot 0,1) + (4 cdot 0,1) = 0 + 0,4 + 0,4 + 0,3 + 0,4 = 1,5
Então, E(X) = 1,5.

Passo 4

Vamos calcular agora E(X^2), que é a esperança do quadrado de X. A fórmula é:
E(X^2) = sumx x^2 cdot pX(x)
Calculando:
E(X^2) = (0^2 cdot 0,2) + (1^2 cdot 0,4) + (2^2 cdot 0,2) + (3^2 cdot 0,1) + (4^2 cdot 0,1) = 0 + 0,4 + 0,8 + 0,9 + 1,6 = 3,7
Portanto, E(X^2) = 3,7.

Passo 5

Agora, vamos calcular E(X+1). Sabemos que a esperança é uma operação linear, ou seja:
E(X + 1) = E(X) + E(1) = E(X) + 1
Já calculamos E(X) = 1,5, então:
E(X + 1) = 1,5 + 1 = 2,5

Passo 6

Vamos calcular também E(2X). Novamente, usando a propriedade da linearidade:
E(2X) = 2 cdot E(X)
Com E(X) = 1,5:
E(2X) = 2 cdot 1,5 = 3

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos calcular a variância Var(X). A fórmula para a variância é:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Já sabemos que E(X^2) = 3,7 e E(X) = 1,5:
Var(X) = 3,7 - (1,5)^2 = 3,7 - 2,25 = 1,45

Passo 8

Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
raizVar(X) = raiz1,45 approx 1,204

Resposta

(a) A moda de X é 1; E(X) = 1,5; E(X^2) = 3,7; E(X+1) = 2,5; E(2X) = 3.
(b) A variância Var(X) = 1,45 e o desvio-padrão é aproximadamente 1,204.

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