Seja
a variável aleatória número de flores por planta envasada, cuja distribuição de probabilidades é dada pela tabela 1. Calcule
(a) A moda do número de flores por planta, o número médio
.
(b) Calcule a variância e o desvio-padrão, isto é,
e
.
(a) A moda do número de flores por planta, o número médio
(b) Calcule a variância e o desvio-padrão, isto é,
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
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0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
Tabela 1: Número de flores por planta envasada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória
, que representa o número de flores por planta envasada. A gente tem uma tabela que mostra as probabilidades de cada número de flores (de 0 a 4). Hoje, vamos calcular várias coisas sobre essa variável: a moda, a média, a média do quadrado, e umas expectativas de funções da
. Além disso, também vamos ver a variância e o desvio-padrão de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística básica como média, variância e moda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a moda da variável
. A moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição de probabilidade. Olhando a tabela:
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
Vemos que a probabilidade mais alta é 0,4, que corresponde a
. Então, a moda é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor médio ou a esperança matemática
. A fórmula para isso é:
Vamos multiplicar cada valor de
pela sua probabilidade e somar tudo:
Então,
.
Passo 4
Vamos calcular agora
, que é a esperança do quadrado de
. A fórmula é:
Calculando:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que a esperança é uma operação linear, ou seja:
Já calculamos
, então:
Passo 6
Vamos calcular também
. Novamente, usando a propriedade da linearidade:
Com
:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos calcular a variância
. A fórmula para a variância é:
Já sabemos que
e
:
Passo 8
Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
(a) A moda de
é 1;
;
;
;
.
(b) A variância e o desvio-padrão é aproximadamente
.
(b) A variância