Suponha que você calculou a complexidade de dois algoritmos diferentes, o primeiro algoritmo tem a complexidade descrita por f(n) e o outro por g(n, k). Sendo f(n)=5 n+n^3 e g(n, k)=(n /(k+1))(4 n+n^2) com k>=n para todo k e n naturais. Os dois algoritmos têm complexidades iguais ou diferentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois algoritmos com suas complexidades dadas por $ f(n) = 5n + n^3 $ e $ g(n, k) = \frac{n}{k+1}(4n + n^2) $, onde $ k \geq n $ e $ n $ são números naturais. Nosso objetivo aqui é descobrir se essas complexidades são iguais ou diferentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre análise de complexidade de algoritmos, principalmente como comparar funções que descrevem o tempo de execução em termos de $ n $ e $ k $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ g(n, k) $. Ela é dada por:
g(n, k)
Vamos distribuir o $ \frac{n}{k+1} $ dentro dos parênteses:
g(n, k) = nk+1(4n + n^2)

Passo 3

Sabemos que $ k \geq n $. Isso significa que $ k+1 \geq n+1 $. Como $ k $ é pelo menos $ n $, podemos dizer que $ k+1 $ é maior ou igual a $ n+1 $, então o denominador $ k+1 $ está sempre crescendo proporcionalmente a $ n $.

Passo 4

Vamos analisar cada termo de $ g(n, k) $:
  1. g(n, k) : Como $ k+1 \geq n+1 $, podemos dizer que $ \frac{4n^2}{k+1} \leq \frac{4n^2}{n+1} $. Simplificando, isso fica aproximadamente $ 4n $.
  2. 4n^2k+1: Similarmente, $ \frac{n^3}{k+1} \leq \frac{n^3}{n+1} $, que simplifica para algo próximo a $ n^2 $.
Então, $ g(n, k) $ simplifica para aproximadamente $ 4n + n^2 $.

Passo 5

Agora, vamos comparar $ f(n) = 5n + n^3 $ com a simplificação de $ g(n, k) $, que é $ 4n + n^2 $. Observamos que $ f(n) $ tem um termo de $ n^3 $, enquanto $ g(n, k) $ tem até $ n^2 $.

Passo 6

Em termos de complexidade assintótica, $ n^3 $ cresce muito mais rápido que $ n^2 $ quando $ n $ aumenta. Isso significa que, para valores grandes de $ n $, $ f(n) $ será significativamente maior que $ g(n, k) $.

Passo 7

Portanto, como os termos de maior ordem nas duas funções são diferentes ($ n^3 $ para $ f(n) $ e $ n^2 $ para $ g(n, k) $), as complexidades dos dois algoritmos são diferentes.

Resposta

Os dois algoritmos têm complexidades diferentes, já que $ f(n) = 5n + n^3 $ cresce mais rapidamente que $ g(n, k) = \frac{n}{k+1}(4n + n^2) $ para $ k \geq n $.

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