O Teorema Mestre pode ser aplicado à recorrência abaixo? Justifique sua resposta e apresente um limite superior assintótico para essa recorrência.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos pede para verificar se o Teorema Mestre pode ser usado para resolver a seguinte recorrência:
Então, estamos lidando com recorrências na análise de algoritmos, especificamente usando o Teorema Mestre para encontrar um limite superior assintótico para $ T(n) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o formato geral do Teorema Mestre. Ele é usado para resolver recorrências do tipo:
Aqui, $ a $ é o número de subproblemas, $ b $ é o fator pelo qual o tamanho do problema é reduzido, e $ f(n) $ é o custo adicional fora das chamadas recursivas.
No nosso caso, comparando com a recorrência dada:
- $ a = 4 $
- $ b = 2 $
- $ f(n) = n^2 \log n $
Passo 3
Agora, o Teorema Mestre nos diz para comparar $ f(n) $ com $ n^{\log_b a} $. Vamos calcular isso:
Então,
Então, temos que comparar $ f(n) = n^2 \log n $ com $ n^{\log_b a} = n^2 $.
Passo 4
O Teorema Mestre tem três casos principais:
- Caso 1: Se $ f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon}) $ para algum $ \epsilon > 0 $, então $ T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) $.
- Caso 2: Se $ f(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log^k n) $ para algum $ k \geq 0 $, então $ T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log^{k+1} n) $.
- Caso 3: Se $ f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon}) $ para algum $ \epsilon > 0 $ e se $ a f\left(\frac{n}{b}\right) \leq c f(n) $ para algum $ c < 1 $ e suficientemente grande $ n $, então $ T(n) = \Theta(f(n)) $.
No nosso caso, $ f(n) = n^2 \log n $ e $ n^{\log_b a} = n^2 $. Então, $ f(n) $ é igual a $ n^{\log_b a} $ vezes um fator logarítmico.
Passo 5
Isso se encaixa no Caso 2 do Teorema Mestre, onde $ f(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log^k n) $ com $ k = 1 $. Aplicando o teorema:
Resposta
Sim, o Teorema Mestre pode ser aplicado à recorrência dada. O limite superior assintótico para $ T(n) $ é: