Suponha que você tenha duas moedas em seu bolso, sabe-se que uma é honesta e a outra apresenta duas caras. Extraindo ao acaso uma moeda e jogando-a obtém-se cara. A probabilidade da moeda ser honesta é:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas moedas no bolso: uma é honesta (ou seja, tem uma cara e uma coroa) e a outra tem duas caras. A gente escolhe uma moeda aleatoriamente, joga e dá cara. A pergunta é: qual a probabilidade de a moeda escolhida ser a honesta? Vamos usar conceitos de probabilidade condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos envolvidos:
  • Evento A: A moeda escolhida é a honesta.
  • Evento B: O resultado do lançamento é cara.
Queremos encontrar a probabilidade de A dado que B aconteceu, ou seja, $ P(A|B) $.

Passo 3

Para isso, vamos usar a fórmula da probabilidade condicional:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
Onde:
  • $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de escolher a moeda honesta e obter cara.
  • $ P(B) $ é a probabilidade de obter cara, independentemente de qual moeda foi escolhida.

Passo 4

Vamos calcular $ P(A \cap B) $:
  • A probabilidade de escolher a moeda honesta é $ \frac{1}{2} $.
  • Se escolhemos a moeda honesta, a probabilidade de dar cara é $ \frac{1}{2} $.
Então:
P(A cap B)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(B) $, a probabilidade de obter cara:
  • Se escolhemos a moeda honesta, a probabilidade de dar cara é $ \frac{1}{2} $.
  • Se escolhemos a moeda de duas caras, a probabilidade de dar cara é $ 1 $.
Como a escolha da moeda é aleatória, cada uma tem probabilidade $ \frac{1}{2} $ de ser escolhida. Assim:
P(B)

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(A|B) = P(A cap B)P(B) = 1434 = 13

Resposta

A probabilidade da moeda ser honesta é $ \frac{1}{3} $.

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