Um lote de componentes eletrônicos contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos. Seleciona-se ao acaso uma amostra de 3 itens. Calcule a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso se
a amostragem é feita com reposição;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um lote com 20 componentes eletrônicos, sendo que 5 deles são defeituosos. Queremos tirar uma amostra de 3 itens, escolhendo com reposição (ou seja, cada vez que tiramos um item, colocamos de volta antes de tirar o próximo). Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que, nessa amostra de 3 itens, tenha no máximo um item defeituoso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos parcelas independentes com dois possíveis resultados (sucesso ou falha).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades básicas. Como há 5 itens defeituosos em 20, a probabilidade de tirar um item defeituoso em uma tentativa é:
E, consequentemente, a probabilidade de tirar um item não defeituoso é:
ã

Passo 3

Agora, como estamos fazendo com reposição, cada seleção é independente. Ou seja, a probabilidade de cada seleção não muda, não importa o que foi tirado antes.
Vamos calcular a probabilidade de não ter nenhum item defeituoso na amostra de 3 itens. Isso significa que os 3 itens são não defeituosos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente um item defeituoso na amostra de 3 itens. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade binomial:
Onde:
  • é a combinação de n itens tomados k a k.
  • é a probabilidade de sucesso (neste caso, de tirar um defeituoso).
  • é o número total de tentativas.
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade de ter no máximo um item defeituoso, somamos as probabilidades de ter 0 ou 1 defeituoso:

Resposta

A probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso é ou aproximadamente 84,375%.

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Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
Mostre que é, de fato, uma função densidade;
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Determine as seguintes probabilidades:
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a amostragem é feita sem reposição;
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Obtenha a função de distribuição acumulada de X