Suponha que y=f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação xy²+y+x=1. Calcule f’(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada de uma função $ y = f(x) $ que está definida de forma implícita pela equação $ xy² + y + x = 1 $. A gente vai usar o conteúdo de derivadas implícitas para resolver isso. Basicamente, dérivas implícitas ajudam quando a função não está isolada, ou seja, quando $ y $ está misturado com $ x $ na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada implícita. Quando temos uma equação onde $ y $ e $ x $ estão juntos e não dá pra isolar $ y $ facilmente, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a $ x $, tratando $ y $ como uma função de $ x $. Isso significa que toda vez que a gente derivar um termo que tem $ y $, também multiplicamos pela derivada de $ y $ em relação a $ x $, que é $ y’ $.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa equação $ xy² + y + x = 1 $. Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de $ xy² $:
    • Usamos a regra do produto: $ \frac{d}{dx}(x \cdot y²) = x \cdot \frac{d}{dx}(y²) + y² \cdot \frac{d}{dx}(x) $.
    • Derivando $ y² $: $ \frac{d}{dx}(y²) = 2y \cdot y’ $.
    • Derivada de $ x $: $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $.
    • Então, $ \frac{d}{dx}(xy²) = x \cdot 2y y’ + y² $.
  2. Derivada de $ y $:
    • $ \frac{d}{dx}(y) = y’ $.
  3. Derivada de $ x $:
    • $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $.
  4. Derivada de $ 1 $:
    • $ \frac{d}{dx}(1) = 0 $.
Juntando tudo, a derivada da equação fica:
xy² + y + x = 1 ²

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ y’ $. Vamos agrupar os termos que têm $ y’ $ e os que não têm:
y' ²
Isolando $ y’ $:
y' ²
Podemos simplificar colocando um sinal negativo no numerador:
(2xy + 1) y' = -y² - 1 ²

Resposta

A derivada $ f’(x) $ é:
f'(x) ²

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