Sabe-se que em média 5 lâmpadas se queimam a cada 1000 lâmpadas testadas. Qual a probabilidade de que em um teste de 10.000 lâmpadas, exatamente 40 lâmpadas se queimem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que, em média, 5 lâmpadas se queimam a cada 1000 testadas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de exatamente 40 lâmpadas se queimarem em um teste de 10.000 lâmpadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a taxa de queima das lâmpadas. Se 5 em 1000 se queimam, então a probabilidade de uma lâmpada queimar é:
E a probabilidade de uma lâmpada não queimar é:
Passo 3
Como vamos testar 10.000 lâmpadas, queremos saber a probabilidade de exatamente 40 queimarem. Isso se enquadra na distribuição binomial, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (neste caso, queimar) em um número fixo de tentativas (lâmpadas testadas), com a mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ n = 10.000 $ é o número de testes,
- $ k = 40 $ é o número de sucessos desejados,
- $ p = 0,005 $ é a probabilidade de sucesso,
- $ q = 0,995 $ é a probabilidade de fracasso.
Passo 4
Calcular a combinação
diretamente é bem trabalhoso, então vamos usar uma aproximação. Quando $ n $ é grande e $ p $ é pequeno, a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição normal.
Para isso, calculamos a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial:
Passo 5
Agora, queremos a probabilidade de exatamente 40 lâmpadas se queimarem. Na aproximação normal, isso corresponde à probabilidade de $ X $ estar entre 39,5 e 40,5. Usamos 0,5 para corrigir a continuidade.
Calculamos os escores z para esses valores:
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos as probabilidades correspondentes aos escores z:
Então, a probabilidade de $ X $ estar entre 39,5 e 40,5 é:
Resposta
A probabilidade de que exatamente 40 lâmpadas se queimem em um teste de 10.000 é aproximadamente 1,91%.