Para T=0,1 segundos, obtenha a transformada Z de: x(k)=3-e^-5 k

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para encontrar a transformada Z da função com segundos. Isso envolve o estudo da Transformada Z, que é uma ferramenta usada para analisar sinais e sistemas no domínio discreto. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada Z e aplicar ela a cada parte da função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada Z. Ela transforma uma sequência de tempo discreto X(z) = sumk=0^infty x(k) z^-k em uma função no domínio complexo . A definição da Transformada Z é:
Isso significa que a Transformada Z é a soma de todos os valores da sequência multiplicados por .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função X(z) = sumk=0^infty (3 - e^-5k) z^-k = 3 sumk=0^infty z^-k - sumk=0^infty e^-5k z^-k . Substituindo na fórmula da Transformada Z:
Aqui, separamos a soma em duas partes para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos resolver cada soma separadamente.
Primeiro, a soma sumk=0^infty z^-k = 11 - z^-1 = zz - 1 é uma série geométrica que tem a soma:
sumk=0^infty e^-5k z^-k = 11 - e^-5 z^-1 = zz - e^-5
Depois, a soma também é uma série geométrica, onde a razão é . A soma dessa série é:

Passo 5

Agora, substituímos essas somas na expressão de X(z) = 3 cdot zz - 1 - zz - e^-5 :

Resposta

A Transformada Z de X(z) = 3zz - 1 - zz - e^-5 é:

Exercícios relacionados