Para T=0,1 segundos, obtenha a transformada Z de: x(k)=u(k-2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está nos pedindo. Temos uma sequência e precisamos encontrar a Transformada Z dessa sequência. A Transformada Z é uma ferramenta que usamos em processamento de sinais para analisar sistemas discretos no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da Transformada Z e entender o que a função representa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . Essa é a função degrau unitário, que vale 0 para e 1 para . Quando temos , isso significa que o degrau foi deslocado para a direita em 2 unidades. Ou seja, para e para .

Passo 3

Agora, vamos relembrar a definição da Transformada Z. Para uma sequência X(z) = sumk=-infty^infty x(k) z^-k , a Transformada Z é dada por:
X(z) = sumk=2^infty z^-k
No nosso caso, como , podemos reescrever a soma considerando que para :

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa soma infinita. Reconhecemos que isso é uma série geométrica, onde cada termo é X(z) = z^-2 sumk=0^infty z^-k = z^-2 cdot 11 - z^-1 = z^-21 - z^-1 . Lembrando que a soma de uma série geométrica infinita é igual a quando .
No nosso caso, a soma começa em , então vamos ajustar a fórmula:

Passo 5

Finalmente, podemos simplificar a expressão para torná-la mais elegante. Multiplicando numerador e denominador por X(z) = z^-2 cdot zz - 1 = z^-1z - 1 , temos:
X(z) = 1z^2(1 - z^-1) = 1z^2 - z
Ou, de forma alternativa:

Resposta

A Transformada Z de X(z) = z^-21 - z^-1 é:

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